题目

题 12-5 在电动机驱动剪床的机械系统中,已知电动机的转速为 /min, 折算到电动-|||-机轴上的等效阻力矩 _(er)=(M)_(er)(varphi ), 如图所示,其循环周期为20π。设驱动力矩为常数,机械系-|||-统中各构件的转动惯量忽略不计。试求:-|||-(1)驱动力矩M4,并将其以图线表示在 -4 图上;-|||-(2)作功能指示图,求最大盈亏功 Delta W ;-|||-(3)要求系统运转的不均匀系数 leqslant 0.05, 求安装在电动机-|||-轴上的飞轮的转动惯量Jr。-|||-↑M/(N·m)-|||-400-|||-80 F--|||-0 5π 20π p-|||-题 12-5 图

题目解答

答案

解析

本题主要考察机械系统中驱动力矩、最大盈亏功以及飞轮转动惯量的计算，解题思路如下：

（1）求驱动力矩$M_d$

  • 首先，根据阻力矩$M_{er}$的图像，利用功的计算公式$W = M\times\varphi$（其中$M$为力矩，$\varphi$为转角）计算一个运动循环中阻力矩$M_{er}$所消耗的功$W_1$。
  • 因为驱动力矩$M_d$为常数，且在一个运动循环中，驱动力矩所输入的功$W_d$等于阻力矩所消耗的功$W_1$，即$W_d = M_d\times 20\pi$，由此可求出驱动力矩$M_d$。
  • 计算过程如下：
    • 阻力矩$M_{er}$所消耗的功$W_1$：
      • 由图可知，阻力矩$M_{er}$在$0 - 5\pi$区间为$400N\cdot m$，在$5\pi - 20\pi$区间为$80N\cdot m$。
      • 根据功的计算公式$W = M\times\varphi$，可得$W_1=(5\pi\times 400+(20\pi - 5\pi)\times 80)N\cdot m$
      • 先计算括号内的值：$5\pi\times 400 = 2000\pi$，$(20\pi - 5\pi)\times 80 = 15\pi\times 80 = 1200\pi$。
      • 则$W_1=(2000\pi + 1200\pi)N\cdot m = 3200\pi N\cdot m$。
    • 驱动力矩$M_d$：
      • 因为$W_d = M_d\times 20\pi = W_1 = 3200\pi N\cdot m$，所以$M_d=\frac{3200\pi}{20\pi}N\cdot m = 160N\cdot m$。

（2）求最大盈亏功$\Delta W_{max}$

  • 计算不同区间的盈亏功$f$，盈亏功$f$等于该区间内驱动力矩所做的功减去阻力矩所做的功。
  • 比较各区间盈亏功的大小，找出最大盈亏功$\Delta W_{max}$。
  • 计算过程如下：
    • 第一个区间$0 - 5\pi$的盈亏功$f_1$：
      • 驱动力矩在该区间所做的功为$160\times 5\pi N\cdot m$，阻力矩在该区间所做的功为$400\times 5\pi N\cdot m$。
      • 则$f_1=(160\times 5\pi - 400\times 5\pi)N\cdot m=(800\pi - 2000\pi)N\cdot m = - 1200\pi N\cdot m$。
    • 第二个区间$5\pi - 20\pi$的盈亏功$f_2$：
      • 驱动力矩在该区间所做的功为$160\times 15\pi N\cdot m$，阻力矩在该区间所做的功为$80\times 15\pi N\cdot m$。
      • 则$f_2=(160\times 15\pi - 80\times 15\pi)N\cdot m=(2400\pi - 1200\pi)N\cdot m = 1200\pi N\cdot m$。
    • 比较$\vert f_1\vert$和$\vert f_2\vert$的大小，可得$\Delta W_{max}=1200\pi N\cdot m$。

（3）求飞轮的转动惯量$J_F$

  • 根据飞轮转动惯量的计算公式$J_F=\frac{900\times\Delta W_{max}}{\pi^2n^2\delta}$（其中$n$为电动机转速，$\delta$为系统运转的不均匀系数），将已知数据代入公式计算飞轮的转动惯量$J_F$。
  • 计算过程如下：
    • 已知$n = 1500r/min$，$\Delta W_{max}=1200\pi N\cdot m$，$\delta = 0.05$。
    • 代入公式可得$J_F=\frac{900\times 1200\pi}{\pi^2\times 1500^2\times 0.05}$
    • 先化简式子：$J_F=\frac{900\times 1200}{\pi\times 1500^2\times 0.05}$
    • 计算$1500^2 = 2250000$，则$J_F=\frac{900\times 1200}{\pi\times 2250000\times 0.05}$
    • 继续计算：$900\times 1200 = 1080000$，$2250000\times 0.05 = 112500$。
    • 所以$J_F=\frac{1080000}{\pi\times 112500}$
    • 计算$\frac{1080000}{112500}=9.6$，则$J_F=\frac{9.6}{\pi}\approx 3.056kg\cdot m^2$。