题目

假设用于通信的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为0.07、0.19、0.02、0.06、0.32、0.03、0.21、0.10①试为这8个字母设计哈夫曼编码[1]。②试设计另一种由二进制[2]表示的等长编码方案。③对于上述实例，比较两种方案的优缺点。

假设用于通信的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为0.07、0.19、0.02、0.06、0.32、0.03、0.21、0.10

①试为这8个字母设计哈夫曼编码[1]。

②试设计另一种由二进制[2]表示的等长编码方案。

③对于上述实例，比较两种方案的优缺点。

题目解答

答案

根据题目要求，实现以下内容：

① 根据字母在电文中出现的频率，设计哈夫曼编码：

根据给定的频率，可以构建哈夫曼树[3]，并根据树的结构为每个字母分配唯一的编码。编码规则是：左子树分支为0，右子树分支为1。根据构建的哈夫曼树，可以得到如下哈夫曼编码：

a: 110

b: 1110

c: 000

d: 100

e: 01

f: 001

g: 1111

h: 101

② 设计另一种由二进制表示的等长编码方案：

为了保证编码长度相同，可以选择二进制编码，每个字母分配固定长度的二进制编码。在这种方案下，可以设计如下等长编码：

a: 000

b: 001

c: 010

d: 011

e: 100

f: 101

g: 110

h: 111

③ 比较两种方案的优缺点：

哈夫曼编码的优点是可以根据不同字母的频率来设计编码，使得频率高的字母的编码较短，频率低的字母的编码较长，最大限度地减少编码的长度。然而，哈夫曼编码的缺点是编码规则不固定，不易于解码效率高，并且需要额外的空间来存储编码表。

而等长编码方案的优点是编码长度相同，编码规则固定，便于解码操作。但是，等长编码方案可能导致编码长度增加，浪费存储空间，同时不能根据字母的频率来进行有效的压缩。

综上所述，哈夫曼编码在压缩效率上更加优越，但是需要额外的空间来存储编码表；而等长编码方案在解码效率上更高，但是编码长度较长且无法灵活地根据字母的频率进行压缩。因此，根据实际需求，可以选择适合的编码方案。

解析

哈夫曼编码的核心是根据字母出现频率动态分配编码，频率高的字母用较短的编码，频率低的用较长的编码，从而减少总编码长度。等长编码则固定每个字母的编码长度，虽然解码方便，但可能浪费存储空间。本题需掌握哈夫曼树的构建方法及两种编码方案的比较。

① 哈夫曼编码设计

构建哈夫曼树

  1. 排序频率：将8个字母按频率从小到大排列：
    c(0.02), f(0.03), d(0.06), a(0.07), h(0.10), b(0.19), g(0.21), e(0.32)
  2. 合并最小频率：
    • 合并 c(0.02) 和 f(0.03)，生成新节点 0.05
    • 合并 d(0.06) 和 0.05，生成新节点 0.11
    • 合并 a(0.07) 和 h(0.10)，生成新节点 0.17
    • 合并 0.11 和 0.17，生成新节点 0.28
    • 合并 b(0.19) 和 g(0.21)，生成新节点 0.40
    • 合并 e(0.32) 和 0.28，生成新节点 0.60
    • 最终合并 0.60 和 0.40，生成根节点 1.00

分配编码

根据哈夫曼树的路径（左分支为0，右分支为1），得到编码：

  • e(0.32)：路径最短，编码为01
  • a(0.07)：路径较长，编码为110
  • c(0.02)：路径最长，编码为000

② 等长编码设计

由于有8个字母，需3位二进制编码（2^3=8），按字母顺序分配：

  • a: 000, b: 001, c: 010, d: 011, e: 100, f: 101, g: 110, h: 111

③ 方案比较

  • 哈夫曼编码：
    优点：压缩效率高（总编码长度为0.07×3 + 0.19×4 + ... = 3.21）。
    缺点：编码表需存储，解码需逐位解析。
  • 等长编码：
    优点：编码规则固定，解码快。
    缺点：总编码长度固定为8×3=24，浪费空间。