【单选题】深度为k的完全二叉树至多有 个结点。A. 2 k-1 -1B. 2 k-1C. 2 k -1D. 2 k

本题考察完全二叉树的节点数量计算，关键在于理解“深度为$k$的完全二叉树”的定义及最多节点的情况。

1. 明确完全二叉树的性质

完全二叉树是指除最后一层外，每一层都是满的（即节点数达到最大值），最后一层的节点都靠左排列。深度为$k$的完全二叉树“至多”有节点的情况，等价于该树是“满二叉树”（最后一层也排满），因为满二叉树是同深度下节点数最多的完全二叉树。

2. 计算满二叉树的节点数

对于深度为$k$的满二叉树：

• 第$1$层（根节点）有$2^0=1$个节点；
• 第$2$层有$2^1=2$个节点；
• 第$3$层有$2^2=4$个节点；
• ...
• 第$k$层有$2^{k-1}$个节点。

这是首项$a_1=1$、公比$q=2$的等比数列，前$k$项和为：
$S_k = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{k-1} = 2^k - 1$

3. 选项匹配

计算结果$2^k - 1$对应选项C（注意题目中选项“$2 k -1$”应为“$2^k -1$”的格式省略）。