题目
6 对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系,面间距d 满足d^2=a^2/(h^2+k^2+l^2)其中 a 为立方边长。
6 对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系,面间距d 满足
其中 a 为立方边长。
题目解答
答案
解:根据倒格子的特点,倒格子
与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系
因此只要先求出倒格
,求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交,因此其大小为
则带入前边的关系式,即得晶面族的面间距。
解析
步骤 1：确定正格子基矢
简单立方晶格的正格子基矢为：
${\overrightarrow {a}}_{1}=a\overrightarrow {i}$ , ${\overrightarrow {a}}_{2}=a\overrightarrow {j}$ , ${\overrightarrow {a}}_{3}=a\overrightarrow {k}$
步骤 2：计算倒格子基矢
根据倒格子基矢的定义，倒格子基矢与正格子基矢满足以下关系：
${\overrightarrow {b}}_{i}\cdot {\overrightarrow {a}}_{j}=2\pi \delta _{ij}$
其中，$\delta _{ij}$是克罗内克符号，当$i=j$时，$\delta _{ij}=1$；当$i\neq j$时，$\delta _{ij}=0$。
根据上述关系，可以求出简单立方晶格的倒格子基矢为：
${\overrightarrow {b}}_{1}=\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {i}$ , ${\overrightarrow {b}}_{2}=\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {j}$ , ${\overrightarrow {b}}_{3}=\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {k}$
步骤 3：计算晶面族的面间距
根据倒格子的特点，倒格子$\overrightarrow {G}=h\overrightarrow {{b}_{1}}+k\overrightarrow {{b}_{2}}+\overrightarrow {{b}_{3}}$与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{|{G}_{nk}|}$
将倒格子基矢代入上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{|h\overrightarrow {{b}_{1}}+k\overrightarrow {{b}_{2}}+\overrightarrow {{b}_{3}}|}$
将倒格子基矢的表达式代入上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{|h\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {i}+k\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {j}+\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {k}|}$
化简上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{\dfrac {2\pi }{a}\sqrt {{h}^{2}+{k}^{2}+{l}^{2}}}$
化简上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {a}{\sqrt {{h}^{2}+{k}^{2}+{l}^{2}}}$
将上式平方，可以得到：
${d}^{2}=\dfrac {{a}^{2}}{{h}^{2}+{k}^{2}+{l}^{2}}$
简单立方晶格的正格子基矢为：
${\overrightarrow {a}}_{1}=a\overrightarrow {i}$ , ${\overrightarrow {a}}_{2}=a\overrightarrow {j}$ , ${\overrightarrow {a}}_{3}=a\overrightarrow {k}$
步骤 2：计算倒格子基矢
根据倒格子基矢的定义，倒格子基矢与正格子基矢满足以下关系：
${\overrightarrow {b}}_{i}\cdot {\overrightarrow {a}}_{j}=2\pi \delta _{ij}$
其中，$\delta _{ij}$是克罗内克符号，当$i=j$时，$\delta _{ij}=1$；当$i\neq j$时，$\delta _{ij}=0$。
根据上述关系，可以求出简单立方晶格的倒格子基矢为：
${\overrightarrow {b}}_{1}=\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {i}$ , ${\overrightarrow {b}}_{2}=\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {j}$ , ${\overrightarrow {b}}_{3}=\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {k}$
步骤 3：计算晶面族的面间距
根据倒格子的特点，倒格子$\overrightarrow {G}=h\overrightarrow {{b}_{1}}+k\overrightarrow {{b}_{2}}+\overrightarrow {{b}_{3}}$与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{|{G}_{nk}|}$
将倒格子基矢代入上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{|h\overrightarrow {{b}_{1}}+k\overrightarrow {{b}_{2}}+\overrightarrow {{b}_{3}}|}$
将倒格子基矢的表达式代入上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{|h\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {i}+k\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {j}+\dfrac {2\pi }{a}\overrightarrow {k}|}$
化简上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {2\pi }{\dfrac {2\pi }{a}\sqrt {{h}^{2}+{k}^{2}+{l}^{2}}}$
化简上式，可以得到：
${d}_{nk-1}=\dfrac {a}{\sqrt {{h}^{2}+{k}^{2}+{l}^{2}}}$
将上式平方，可以得到：
${d}^{2}=\dfrac {{a}^{2}}{{h}^{2}+{k}^{2}+{l}^{2}}$