已知一对正常齿渐开线标准外啮合直齿圆柱齿轮传动[1],其模数 m =5mm ,齿顶高系数 h a * =1 ,压力角 α =20 °,中心距 a =300mm ,传动比 i 12 =3 ,试求两轮的齿数 z 1 = 、 z 2 = , 分度圆直径 d 1 = mm 、齿顶圆直径 d a1 = mm ,齿根圆直径 d f2 = mm 。

考查要点：本题主要考查外啮合直齿圆柱齿轮传动的基本参数计算，包括传动比与齿数关系、中心距公式、分度圆直径、齿顶圆直径及齿根圆直径的计算。

解题核心思路：

1. 传动比与齿数关系：利用传动比公式 $i_{12} = \frac{z_2}{z_1}$，结合中心距公式 $a = \frac{d_1 + d_2}{2}$，联立求解两轮的齿数。
2. 分度圆直径：根据模数与齿数的关系 $d = m z$ 计算。
3. 齿顶圆直径：通过齿顶高公式 $h_a = h_a^* \cdot m$ 计算。
4. 齿根圆直径：根据齿根高公式 $h_f = (h_a^* + 0.25) \cdot m$ 计算。

破题关键点：

• 传动比与中心距的联立是求解齿数的核心。
• 齿顶高和齿根高的标准公式需准确记忆。

1. 求齿数 $z_1$ 和 $z_2$

根据传动比公式

传动比 $i_{12} = \frac{z_2}{z_1} = 3$，得 $z_2 = 3z_1$。

根据中心距公式

中心距 $a = \frac{d_1 + d_2}{2}$，分度圆直径 $d = m z$，代入得：
$a = \frac{m z_1 + m z_2}{2} = \frac{m (z_1 + z_2)}{2}$
将 $z_2 = 3z_1$ 代入：
$300 = \frac{5 (z_1 + 3z_1)}{2} \implies 300 = 10 z_1 \implies z_1 = 30, \quad z_2 = 90$

2. 求分度圆直径 $d_1$

$d_1 = m z_1 = 5 \times 30 = 150 \, \text{mm}$

3. 求齿顶圆直径 $d_{a1}$

计算齿顶高

$h_a = h_a^* \cdot m = 1 \times 5 = 5 \, \text{mm}$

计算齿顶圆直径

$d_{a1} = d_1 + 2h_a = 150 + 2 \times 5 = 160 \, \text{mm}$

4. 求齿根圆直径 $d_{f2}$

计算齿根高

$h_f = (h_a^* + 0.25) \cdot m = (1 + 0.25) \times 5 = 6.25 \, \text{mm}$

计算齿根圆直径

$d_{f2} = d_2 - 2h_f = 450 - 2 \times 6.25 = 437.5 \, \text{mm}$