题目
n 个 ( 二进制 ) 1 形式的数转换成十进制数 是（）
n 个 ( 二进制 ) 1 形式的数转换成十进制数 是（）
题目解答
答案
把 n 个二进制 1 形式的数转换成十进制数，实际上是将 n 个全部为 1 的二进制数转换成十进制。这种数的表示方式可以用二进制数 111...1（共 n 个 1）来表示。该二进制数的十进制转换公式如下：
这个公式实际上可以用求和公式来简化，结果可以表示为：
解析
步骤 1：理解二进制数的表示
二进制数是由 0 和 1 组成的数，每个位置上的数字代表 $2$ 的幂次方。例如，二进制数 1111 可以表示为 $1\times {2}^{3}+1\times {2}^{2}+1\times {2}^{1}+1\times {2}^{0}$。
步骤 2：将 n 个 1 的二进制数转换为十进制数
n 个 1 的二进制数可以表示为 $111...1$（共 n 个 1），其十进制表示为 $1\times {2}^{n-1}+1\times {2}^{n-2}+\cdots +1\times {2}^{0}$。
步骤 3：简化求和公式
上述求和公式可以简化为 $2^{n}-1$，因为它是等比数列求和公式 $S_n = a_1 \times \frac{1-r^n}{1-r}$ 的特殊情况，其中 $a_1 = 1$，$r = 2$，$n$ 为项数。
二进制数是由 0 和 1 组成的数，每个位置上的数字代表 $2$ 的幂次方。例如，二进制数 1111 可以表示为 $1\times {2}^{3}+1\times {2}^{2}+1\times {2}^{1}+1\times {2}^{0}$。
步骤 2：将 n 个 1 的二进制数转换为十进制数
n 个 1 的二进制数可以表示为 $111...1$（共 n 个 1），其十进制表示为 $1\times {2}^{n-1}+1\times {2}^{n-2}+\cdots +1\times {2}^{0}$。
步骤 3：简化求和公式
上述求和公式可以简化为 $2^{n}-1$，因为它是等比数列求和公式 $S_n = a_1 \times \frac{1-r^n}{1-r}$ 的特殊情况，其中 $a_1 = 1$，$r = 2$，$n$ 为项数。