题目
4-|||-B-|||-C-|||-B`2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为（ ）（sqrt(3)≈1.732） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为（ ）（$\sqrt{3}$≈1.732）- A. 346
- B. 373
- C. 446
- D. 473
题目解答
答案
解：过C作CH⊥BB′于H，过B作BM⊥AA′于M，则∠BCH=15°，BH=100，∠ABM=45°，CH=C′B′，A′B′=BM=AM，BB′=MA′，∠C′A′B′=75°
∴tan∠BCH=tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}=2-\sqrt{3}$，sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}）$
则在Rt△BCH中，CH=$\frac{BH}{tan∠BCH}$=100（2+$\sqrt{3}$），∴C′B′=100（2+$\sqrt{3}$）
在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′=$\frac{C′B′}{sin∠C′A′B′}•sin∠A′C′B′$=100（$\sqrt{3}$+1），∴AM=100（$\sqrt{3}$+1），
∴AA′-CC′=AM+BH=100（$\sqrt{3}$+1）+100≈373，
故选：B．
解析
步骤 1：确定三角形中的角度和边长关系
由题意知，∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°，∠BCH=15°，BH=100，∠ABM=45°。其中，CH=C′B′，A′B′=BM=AM，BB′=MA′，∠C′A′B′=75°。
步骤 2：计算CH的长度
在Rt△BCH中，tan∠BCH=tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}=2-\sqrt{3}$，则CH=$\frac{BH}{tan∠BCH}$=100（2+$\sqrt{3}$），所以C′B′=100（2+$\sqrt{3}$）。
步骤 3：计算A′B′的长度
在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′=$\frac{C′B′}{sin∠C′A′B′}•sin∠A′C′B′$=100（$\sqrt{3}$+1），所以AM=100（$\sqrt{3}$+1）。
步骤 4：计算AA′-CC′的值
AA′-CC′=AM+BH=100（$\sqrt{3}$+1）+100≈373。
由题意知，∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°，∠BCH=15°，BH=100，∠ABM=45°。其中，CH=C′B′，A′B′=BM=AM，BB′=MA′，∠C′A′B′=75°。
步骤 2：计算CH的长度
在Rt△BCH中，tan∠BCH=tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}=2-\sqrt{3}$，则CH=$\frac{BH}{tan∠BCH}$=100（2+$\sqrt{3}$），所以C′B′=100（2+$\sqrt{3}$）。
步骤 3：计算A′B′的长度
在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′=$\frac{C′B′}{sin∠C′A′B′}•sin∠A′C′B′$=100（$\sqrt{3}$+1），所以AM=100（$\sqrt{3}$+1）。
步骤 4：计算AA′-CC′的值
AA′-CC′=AM+BH=100（$\sqrt{3}$+1）+100≈373。