四、(15分)已知某构件上危险点的应力状态如图所示,试求:主应力的大小,并画出主单元体的位置。

步骤 1：确定应力状态
根据题目描述，已知应力状态为：${\sigma }_{x}=-20MPa$，${\sigma }_{y}=60MPa$，${\tau }_{xy}=30MPa$。

步骤 2：计算主应力
主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到。特征方程为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}+{\sigma }_{z}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}+{\sigma }_{y}{\sigma }_{z}+{\sigma }_{z}{\sigma }_{x}-{\tau }_{xy}^{2}-{\tau }_{yz}^{2}-{\tau }_{zx}^{2})\sigma-({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}{\sigma }_{z}+2{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}{\tau }_{zx}-{\sigma }_{x}{\tau }_{yz}^{2}-{\sigma }_{y}{\tau }_{zx}^{2}-{\sigma }_{z}{\tau }_{xy}^{2})=0$
由于题目中没有给出${\sigma }_{z}$和${\tau }_{yz}$、${\tau }_{zx}$，我们假设${\sigma }_{z}=0$，${\tau }_{yz}={\tau }_{zx}=0$，则特征方程简化为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2})\sigma=0$
代入已知值，得到：
${\sigma }^{3}-40{\sigma }^{2}+(-20\times 60-30^{2})\sigma=0$
${\sigma }^{3}-40{\sigma }^{2}-1500\sigma=0$
解得主应力为：${\sigma }_{1}=70MPa$，${\sigma }_{2}=0$，${\sigma }_{3}=-30MPa$。

步骤 3：确定主应力方向
主应力方向可以通过求解应力状态的特征向量得到。特征向量可以通过求解以下方程组得到：
$({\sigma }_{x}-{\sigma }_{i}){n}_{x}+{\tau }_{xy}{n}_{y}+{\tau }_{xz}{n}_{z}=0$
${\tau }_{xy}{n}_{x}+({\sigma }_{y}-{\sigma }_{i}){n}_{y}+{\tau }_{yz}{n}_{z}=0$
${\tau }_{xz}{n}_{x}+{\tau }_{yz}{n}_{y}+({\sigma }_{z}-{\sigma }_{i}){n}_{z}=0$
代入已知值，得到：
$(-20-{\sigma }_{i}){n}_{x}+30{n}_{y}=0$
$30{n}_{x}+(60-{\sigma }_{i}){n}_{y}=0$
解得主应力方向为：${\alpha }_{0}=-{26.6}^{\circ }$。