题目
一级反应完成99.9%所需的时间是完成 50%所需时间的A. 2 倍B. 5 倍C. 10 倍D. 20 倍
一级反应完成99.9%所需的时间是完成 50%所需时间的
A. 2 倍
B. 5 倍
C. 10 倍
D. 20 倍
题目解答
答案
C. 10 倍
解析
步骤 1：理解一级反应的定义
一级反应的速率与反应物浓度的一次方成正比，其速率方程为：\[ \frac{d[A]}{dt} = -k[A] \]，其中 \([A]\) 是反应物的浓度，\(k\) 是速率常数。
步骤 2：一级反应的半衰期公式
一级反应的半衰期 \(t_{1/2}\) 与速率常数 \(k\) 的关系为：\[ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \]。这意味着完成50%反应所需的时间是半衰期。
步骤 3：计算完成99.9%反应所需的时间
完成99.9%反应意味着反应物浓度减少到初始浓度的0.1%，即 \([A] = 0.001[A]_0\)。根据一级反应的积分方程：\[ \ln \frac{[A]_0}{[A]} = kt \]，代入 \([A] = 0.001[A]_0\)，得到：\[ \ln \frac{[A]_0}{0.001[A]_0} = kt \]，即：\[ \ln 1000 = kt \]。因为 \(\ln 1000 = 6.907755\)，所以：\[ t = \frac{6.907755}{k} \]。
步骤 4：比较完成99.9%反应所需的时间与完成50%反应所需的时间
完成50%反应所需的时间是半衰期 \(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}\)，而完成99.9%反应所需的时间是 \(\frac{6.907755}{k}\)。因此，完成99.9%反应所需的时间是完成50%反应所需时间的倍数为：\[ \frac{6.907755}{\ln 2} = \frac{6.907755}{0.693147} \approx 10 \]。
一级反应的速率与反应物浓度的一次方成正比，其速率方程为：\[ \frac{d[A]}{dt} = -k[A] \]，其中 \([A]\) 是反应物的浓度，\(k\) 是速率常数。
步骤 2：一级反应的半衰期公式
一级反应的半衰期 \(t_{1/2}\) 与速率常数 \(k\) 的关系为：\[ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \]。这意味着完成50%反应所需的时间是半衰期。
步骤 3：计算完成99.9%反应所需的时间
完成99.9%反应意味着反应物浓度减少到初始浓度的0.1%，即 \([A] = 0.001[A]_0\)。根据一级反应的积分方程：\[ \ln \frac{[A]_0}{[A]} = kt \]，代入 \([A] = 0.001[A]_0\)，得到：\[ \ln \frac{[A]_0}{0.001[A]_0} = kt \]，即：\[ \ln 1000 = kt \]。因为 \(\ln 1000 = 6.907755\)，所以：\[ t = \frac{6.907755}{k} \]。
步骤 4：比较完成99.9%反应所需的时间与完成50%反应所需的时间
完成50%反应所需的时间是半衰期 \(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}\)，而完成99.9%反应所需的时间是 \(\frac{6.907755}{k}\)。因此，完成99.9%反应所需的时间是完成50%反应所需时间的倍数为：\[ \frac{6.907755}{\ln 2} = \frac{6.907755}{0.693147} \approx 10 \]。