求一维势箱中粒子在φ1和φ2状态时,在箱中 .49Lsim 0.51l 范围内出现的概率,并与-|||-《结构化学基础》(第5版)中图1.3.2(b))相比较,讨论所得结果是否合理。

考查要点：本题主要考查一维无限势箱中粒子的概率计算及波函数的节点特性。
解题思路：

1. 写出波函数及其概率密度表达式，明确φ₁和φ₂对应的波函数形式；
2. 积分概率密度在指定区间$0.49L \sim 0.51L$内求概率；
3. 结合波函数的节点特性分析结果合理性，φ₂在$x=L/2$处存在节点，概率密度为零，附近区域概率极低。

关键点：

• 概率密度与波函数平方的关系；
• 积分技巧（利用三角恒等式简化计算）；
• 节点位置对概率的影响。

1. 波函数与概率密度表达式

对于一维无限势箱，粒子的波函数为：
$\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad 0 \leq x \leq L$
概率密度为：
$|\varphi_n(x)|^2 = \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$
其中，φ₁对应$n=1$，φ₂对应$n=2$。

2. 计算概率

φ₁状态

概率密度：
$|\varphi_1(x)|^2 = \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)$
积分区间$0.49L \sim 0.51L$的概率为：
$P_1 = \int_{0.49L}^{0.51L} \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx$
利用三角恒等式$\sin^2\theta = \frac{1}{2}\left(1 - \cos 2\theta\right)$，积分化简为：
$P_1 = \frac{2}{L} \left[ \frac{x}{2} - \frac{L}{4\pi} \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right]_{0.49L}^{0.51L}$
代入上下限并计算得：
$P_1 \approx 0.0399$

φ₂状态

概率密度：
$|\varphi_2(x)|^2 = \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)$
积分区间$0.49L \sim 0.51L$的概率为：
$P_2 = \int_{0.49L}^{0.51L} \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx$
同理化简得：
$P_2 = \frac{2}{L} \left[ \frac{x}{2} - \frac{L}{8\pi} \sin\left(\frac{4\pi x}{L}\right) \right]_{0.49L}^{0.51L}$
代入上下限并计算得：
$P_2 \approx 0.0001$

3. 结果合理性分析

• φ₁状态：$x=L/2$是φ₁的波峰位置，概率密度最大，积分结果较大；
• φ₂状态：$x=L/2$是φ₂的节点，概率密度为零，附近区域因快速振荡导致概率极低；
• 与教材图1.3.2(b)对比：图中φ₂的$|\varphi_2(x)|^2$在$L/2$附近接近零，与计算结果一致。