3.(20.0分)3、设两个二进制[1]浮点数的真值为：X=-(0.101010)times2^101,Y=-(0.110111)times2^100。其浮点格式为：阶码的符号位2位、数值位3位，尾数的符号位2位、数值位6位。采用变形补码运算方法，求解X-Y的真值。(20分)

### 问题解析 题目要求我们计算两个二进制浮点数 $X$ 和 $Y$ 的差 $X - Y$，并给出其真值。浮点数的格式为： - 阶码的符号位2位、数值位3位 - 尾数的符号位2位、数值位6位 首先，我们需要将 $X$ 和 $Y$ 转换为这种浮点格式，然后进行浮点数的减法运算。 ### 步骤1：将 $X$ 和 $Y$ 转换为浮点格式 #### $X$ 的转换 - 真值：$X = -(0.101010) \times 2^{101}$ - 阶码：101（二进制） = 5（十进制^[2]） - 尾数：-0.101010 阶码的符号位为2位，数值位为3位，因此： - 阶码：01 101（01表示正数，101表示5） 尾数的符号位为2位，数值位为6位，因此： - 尾数：11 101010（11表示负数，101010表示0.101010） #### $Y$ 的转换 - 真值：$Y = -(0.110111) \times 2^{100}$ - 阶码：100（二进制） = 4（十进制） - 尾数：-0.110111 阶码的符号位为2位，数值位为3位，因此： - 阶码：01 100（01表示正数，100表示4） 尾数的符号位为2位，数值位为6位，因此： - 尾数：11 110111（11表示负数，110111表示0.110111） ### 步骤2：对齐阶码 为了进行浮点数的减法运算，需要将 $X$ 和 $Y$ 的阶码对齐。选择较大的阶码作为对齐目标。 - $X$ 的阶码：01 101（5） - $Y$ 的阶码：01 100（4） 将 $Y$ 的阶码对齐到 $X$ 的阶码： - $Y$ 的阶码从 01 100 变为 01 101 - $Y$ 的尾数右移1位：11 110111 右移1位变为 11 111011（最低位舍去） 对齐后的 $Y$： - 阶码：01 101 - 尾数：11 111011 ### 步骤3：进行尾数的减法运算 将 $X$ 和对齐后的 $Y$ 的尾数进行减法运算： - $X$ 的尾数：11 101010 - $Y$ 的尾数：11 111011 由于 $X$ 和 $Y$ 都是负数，我们可以先将它们转换为正数进行减法运算，然后再转换回负数。 - $X$ 的尾数（正数形式）：00 010110（取反加1） - $Y$ 的尾数（正数形式）：00 000101（取反加1） 进行减法运算： \[ 00 010110 - 00 000101 = 00 010001 \] 将结果转换回负数形式： - 00 010001 的负数形式：11 101111（取反加1） ### 步骤4：归一化结果 检查结果是否需要归一化： - 结果：11 101111 结果已经归一化，不需要进一步调整。 ### 步骤5：组合阶码和尾数 - 阶码：01 101 - 尾数：11 101111 ### 步骤6：计算真值 将阶码和尾数组合成浮点数的真值： - 阶码：01 101（5） - 尾数：11 101111（-0.101111） 真值为： \[ X - Y = -(0.101111) \times 2^5 \] 将 $2^5$ 转换为二进制： \[ 2^5 = 32 \] 因此： \[ X - Y = -(0.101111) \times 32 = -(10111.10) \] 最终结果： \[ X - Y = -(10111.10) = -(23.5) \] ### 最终答案 \[ X - Y = -(0.101111) \times 2^{101} = -(0.101111) \times 2^5 = -(10111.10) = -(23.5) \] 用二进制表示： \[ X - Y = -(10111.10) \] 用浮点数格式表示： \[ X - Y = -(0.101111) \times 2^{101} \] 因此，最终答案为： \[ \boxed{-(0.101111) \times 2^{101}} \]