题目
对于一个三自由度的平面关节型机器人 (RRR 构型)，其所有连杆长度[1]均已知。- 建立该机器人的 D-H 参数表。- 写出其正运动学方程。与一个六自由度的工业机器人相比，这种三自由度机器人在工作空间和灵活性上有哪些根本性限制？请从数学和物理两个角度解释。
对于一个三自由度的平面关节型机器人 (RRR 构型)，其所有连杆长度[1]均已知。 - 建立该机器人的 D-H 参数表。 - 写出其正运动学方程。 与一个六自由度的工业机器人相比，这种三自由度机器人在工作空间和灵活性上有哪些根本性限制？请从数学和物理两个角度解释。
题目解答
答案
1. D-H参数表：
\[
\begin{array}{ccccc}
\text{关节} & \theta_i & d_i & a_i & \alpha_i \\
\hline
1 & \theta_1 & 0 & l_1 & 0 \\
2 & \theta_2 & 0 & l_2 & 0 \\
3 & \theta_3 & 0 & l_3 & 0 \\
\end{array}
\]
2. 正运动学方程：
\[
T =
\begin{bmatrix}
\cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & -\sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & 0 & l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) + l_3 \cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) \\
\sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & \cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & 0 & l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) + l_3 \sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
3. 限制分析：
- 数学上，三自由度机器人仅能实现平面内2个平移自由度和1个旋转自由度，无法完成任意姿态控制。
- 物理上，其工作空间局限于二维平面，无法在三维空间中自由移动，且无法适应复杂任务需求。