对于一个三自由度的平面关节型机器人 (RRR 构型)，其所有连杆长度[1]均已知。- 建立该机器人的 D-H 参数表。- 写出其正运动学方程。与一个六自由度的工业机器人相比，这种三自由度机器人在工作空间和灵活性上有哪些根本性限制？请从数学和物理两个角度解释。

本题主要考察三自由度平面关节型机器人（RRR 构型）的 D - H 参数表建立、正运动学方程推导以及与六自由度工业机器人在工作空间和灵活性上的限制分析。

1. 建立 D - H 参数表

D - H 参数法是描述机器人连杆运动的一种标准方法，对于三自由度的平面关节型机器人（RRR 构型），其特点是所有关节均为转动关节，且运动平面为平面。

• 关节 1：
  • 关节变量 $\theta_1$ 为第一个转动关节的转角。
  • 由于是平面运动，沿 $z$ 轴的移动距离 $d_1 = 0$。
  • 第一个连杆的长度为 $l_1$，即 $a_1 = l_1$。
  • 相邻两连杆的公垂线在 $z$ 轴方向的夹角 $\alpha_1 = 0$，因为是平面运动，两连杆在同一平面内。
• 关节 2：
  • 关节变量 $\theta_2$ 为第二个转动关节的转角。
  • 同样，沿 $z$ 轴的移动距离 $d_2 = 0$。
  • 第二个连杆的长度为 $l_2$，即 $a_2 = l_2$。
  • 相邻两连杆的公垂线在 $z$ 轴方向的夹角 $\alpha_2 = 0$。
• 关节 3：
  • 关节变量 $\theta_3$ 为第三个转动关节的转角。
  • 沿 $z$ 轴的移动距离 $d_3 = 0$。
  • 第三个连杆的长度为 $l_3$，即 $a_3 = l_3$。
  • 相邻两连杆的公垂线在 $z$ 轴方向的夹角 $\alpha_3 = 0$。

所以，该机器人的 D - H 参数表为：
$\begin{array}{ccccc} \text{关节} & \theta_i & d_i & a_i & \alpha_i \\ \hline 1 & \theta_1 & 0 & l_1 & 0 \\ 2 & \theta_2 & 0 & l_2 & 0 \\ 3 & \theta_3 & 0 & l_3 & 0 \\ \end{array}$

2. 推导正运动学方程

正运动学方程描述了机器人末端执行器的位置和姿态与关节变量之间的关系。对于平面关节型机器人，我们可以通过依次旋转和移动来得到末端执行器的位置和姿态。

• 首先，我们知道旋转矩阵 $R_z(\theta)$ 为：
  $R_z(\theta)=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 平移矩阵 $T_z(d)$ 为：
  $T_z(d)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & d \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 对于关节 1，其变换矩阵 $T_1$ 为：
  $T_1 = R_z(\theta_1)T_z(l_1)=\begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 & 0 & l_1\cos\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 & 0 & l_1\sin\theta_1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 对于关节 2，其相对于关节 1 的变换矩阵 $T_2$ 为：
  $T_2 = R_z(\theta_2)T_z(l_2)=\begin{bmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 & l_2\cos\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 & l_2\sin\theta_2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 对于关节 3，其相对于关节 2 的变换矩阵 $T_3$ 为：
  $T_3 = R_z(\theta_3)T_z(l_3)=\begin{bmatrix} \cos\theta_3 & -\sin\theta_3 & 0 & l_3\cos\theta_3 \\ \sin\theta_3 & \cos\theta_3 & 0 & l_3\sin\theta_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 机器人的正运动学变换矩阵 $T$ 为 $T_1T_2T_3$：
  $T = T_1T_2T_3=\begin{bmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & -\sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & 0 & l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) + l_3 \cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) \\ \sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & \cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & 0 & l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) + l_3 \sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 与六自由度工业机器人相比的限制分析

• 数学角度：
  • 三自由度机器人的正运动学方程中，末端执行器的位置和姿态仅由三个关节变量 $\theta_1$、$\theta_2$ 和 $\theta_3$ 决定。在平面内，这三个变量可以实现 2 个平移自由度（$x$ 和 $y$ 方向）和 1 个旋转自由度（绕 $z$ 轴）。
  • 而六自由度工业机器人有六个关节变量，能够实现三维空间中的 3 个平移自由度（$x$、$y$ 和 $z$ 方向）和 3 个旋转自由度（绕 $x$、$y$ 和 $z$ 轴），可以完成任意姿态的控制。因此，三自由度机器人无法完成任意姿态控制。
• 物理角度：
  • 三自由度机器人由于其结构和运动方式的限制，其工作空间局限于二维平面。它只能在这个平面内移动和操作，无法在三维空间中自由移动。
  • 六自由度工业机器人可以在三维空间中自由运动，能够适应更复杂的任务需求，如在三维空间中进行装配、焊接等操作。所以，三自由度机器人无法适应复杂任务需求。