试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。

考查要点：本题主要考查平面应力状态下切应力极值面的正应力特性，涉及主应力的概念、应力张量的坐标变换以及极值条件的求解。

解题核心思路：

1. 主应力坐标系：将一般应力状态转换到主应力坐标系，此时切应力为零，正应力为σ₁和σ₂。
2. 方向分析：任意方向的正应力和切应力可由方向余弦表示，结合极值条件求解切应力的最大和最小值。
3. 关键结论：切应力极值面的正应力等于主应力的平均值，即$\frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}$。

破题关键点：

• 主应力坐标系简化：通过坐标变换消除切应力，简化表达式。
• 极值条件推导：利用切应力表达式对方向余弦求导，结合约束条件求解极值方向。
• 代数运算：通过代数变形验证正应力的表达式。

步骤1：建立主应力坐标系

在平面应力状态下，主应力坐标系下应力张量为：
$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{bmatrix}$
此时切应力为零，正应力分别为$\sigma_1$和$\sigma_2$。

步骤2：任意方向的正应力与切应力

设任意方向的法向量方向余弦为$l$和$m$，满足$l^2 + m^2 = 1$。

• 正应力：
  $\sigma_n = l^2 \sigma_1 + m^2 \sigma_2$
• 切应力：
  $\tau_n = l m (\sigma_1 - \sigma_2)$

步骤3：求切应力的极值

切应力$\tau_n$的极值条件为：
$\frac{\partial \tau_n}{\partial l} = m (\sigma_1 - \sigma_2) = 0, \quad \frac{\partial \tau_n}{\partial m} = l (\sigma_1 - \sigma_2) = 0$
结合约束条件$l^2 + m^2 = 1$，解得：
$l = m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

步骤4：计算极值面的正应力

将$l = m = \frac{1}{\sqrt{2}}$代入正应力公式：
$\sigma_n = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \sigma_1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \sigma_2 = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}$
同理，$l = -m = \frac{1}{\sqrt{2}}$时，正应力仍为$\frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2}$。