题目

8.6 题图8.6所示一实心圆轴,直径 =10cm, 自由端所受外扭矩 _(e)=14kNcdot m (1)试计-|||-算横截面上E点( rho =3cm) 的切应力以及横截面上的最大切应力。(2)若材料的切变模量 G=-|||-.79times (10)^5MPa, 试求B截面相对于A截面以及C截面相对于A截面的相对扭转角。-|||-Me-|||-E-|||-A B-|||-1m 0.5m-|||-题图8.6

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查圆轴扭转时的切应力计算及相对扭转角的求解，涉及极惯性矩、切应力公式、扭转角公式的应用。

解题核心思路：

  1. 切应力计算：利用公式 $\tau = \frac{T \rho}{I}$，其中 $I$ 为极惯性矩，需先计算轴的极惯性矩。
  2. 最大切应力：发生在截面边缘，即 $\rho = r$ 时。
  3. 相对扭转角：利用公式 $\varphi = \frac{T L}{G I}$，需注意各段长度对应的扭矩是否相同。

破题关键点：

  • 极惯性矩的计算：$I = \frac{\pi r^4}{2}$，需注意单位统一。
  • 扭矩传递：外扭矩作用在自由端时，轴各段的扭矩相同。
  • 单位转换：切应力结果需转换为 $MPa$，扭转角需转换为角度。

第（1）题：切应力计算

计算极惯性矩

轴的半径 $r = \frac{d}{2} = \frac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}$，极惯性矩为：
$I = \frac{\pi r^4}{2} = \frac{\pi (0.05)^4}{2} \approx 9.817 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$

E点的切应力

E点到轴心距离 $\rho = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}$，外扭矩 $T = 14 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 14,000 \, \text{N} \cdot \text{m}$，代入切应力公式：
$\tau_p = \frac{T \rho}{I} = \frac{14,000 \times 0.03}{9.817 \times 10^{-6}} \approx 42.78 \, \text{MPa}$

最大切应力

最大切应力发生在截面边缘（$\rho = r$）：
$\tau_{\text{max}} = \frac{T r}{I} = \frac{14,000 \times 0.05}{9.817 \times 10^{-6}} \approx 71.30 \, \text{MPa}$

第（2）题：相对扭转角计算

B截面相对于A截面

段长 $L = 1 \, \text{m}$，切变模量 $G = 0.79 \times 10^5 \, \text{MPa} = 7.9 \times 10^{10} \, \text{Pa}$，代入公式：
$\varphi_{BA} = \frac{T L}{G I} = \frac{14,000 \times 1}{7.9 \times 10^{10} \times 9.817 \times 10^{-6}} \approx 0.018 \, \text{rad} \approx 1.03^\circ$

C截面相对于A截面

总段长 $L = 1 \, \text{m} + 0.5 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m}$：
$\varphi_{CA} = \frac{T L}{G I} = \frac{14,000 \times 1.5}{7.9 \times 10^{10} \times 9.817 \times 10^{-6}} \approx 0.027 \, \text{rad} \approx 1.55^\circ$