题目
一铝制空心球,内径40mm,外径80mm,内外壁温度分别为^circ C(50)^circ C,外壁覆盖一层导热系数为^circ C(50)^circ C的保温层,保温层外流体的温度为^circ C(50)^circ C,表面传热系数为^circ C(50)^circ C求通过球壁的热流量。
一铝制空心球,内径40mm,外径80mm,内外壁温度分别为
,外壁覆盖一层导热系数为
的保温层,保温层外流体的温度为
,表面传热系数为
求通过球壁的热流量。
题目解答
答案
知识点
本题涉及以下知识点：
导热：通过材料传递热量的过程，遵循傅里叶定律。
热传导方程：适用于稳态传导时的温度分布分析。
热流量计算：通过不同介质间的热流量计算，结合热传递方式（导热、对流）。
复合壁的热阻：多个热阻串联时，总热阻为各部分热阻之和。
1. 计算铝球的热阻
首先，计算铝制空心球的内外壁的导热热阻。
内半径（r1） = 0.02 m
外半径（r2）= 0.04 m
铝材的导热热阻计算公式：
其中，(k) 为铝的导热系数（铝的导热系数约为 205 W/(m·K)），而 (L) 为球的高度（对于球体，考虑单位面积，即 (L=1) m）。
代入数据：
2. 计算保温层的热阻
保温层的厚度为 (0.04 - 0.02 = 0.02) m，导热系数 
保温层的导热热阻：
代入数据：
3. 计算对流热阻
外流体的表面传热系数为
保温层的外半径为
对流热阻：
4. 总热阻计算
总热阻为各部分热阻之和：
5. 计算热流量
根据热流量公式 
，其中 
代入数据：
结论
通过铝制空心球壁的热流量为约 
。
解析
步骤 1：计算铝球的热阻
首先，计算铝制空心球的内外壁的导热热阻。内半径（r1） = 0.02 m，外半径（r2）= 0.04 m。铝材的导热热阻计算公式为：
$[ {R}_{COnd}=\dfrac {\ln (\dfrac {{r}_{2}}{{r}_{1}})}_{2}{(r)}_{2}(r),{(R+r)}_{2}(r)}$
其中，(k) 为铝的导热系数（铝的导热系数约为 205 W/(m·K)），而 (L) 为球的高度（对于球体，考虑单位面积，即 (L=1) m）。代入数据：
$[ {R}_{COnd}=\dfrac {\ln (\dfrac {0.04}{0.02})}{2\pi \cdot 205\cdot 1}=\dfrac {\ln (2)}{2\pi \cdot 205}] $
$=\dfrac {0.693}{1291.5}\approx 0.000537$ K/W
步骤 2：计算保温层的热阻
保温层的厚度为 (0.04 - 0.02 = 0.02) m，导热系数 $(k=0.1,W/(m\cdot K))$。保温层的导热热阻计算公式为：
${R}_{ins}=\dfrac {\ln (\dfrac {{r}_{3}}{2\pi kL})$
代入数据：
${R}_{inS}=\dfrac {\ln (\dfrac {0.06}{0.04})}{2\pi \cdot 0.1\cdot 1}=\dfrac {\ln (1.5)}{0.6283}$
$=\dfrac {0.405}{0.6283}\approx 0.645$, $k\ykparallel W$
步骤 3：计算对流热阻
外流体的表面传热系数为$(h=20,W/({m}^{2}\cdot k))$。保温层的外半径为$({r}_{3}=0.06,m)$。对流热阻计算公式为：
${R}_{Cunv}=\dfrac {1}{h\cdot 4\pi {{r}_{3}}^{2}}$
$=\dfrac {1}{20\cdot 4\pi {(0.06)}^{2}}=\dfrac {1}{20\cdot 4\pi \cdot 0.0036}$
$=\dfrac {1}{0.453}\approx 2.206$ K/W
步骤 4：总热阻计算
总热阻为各部分热阻之和：
${R}_{tolal}={R}_{COHCl}+{R}_{IIIS}+{R}_{COIV}$
$=0.000537+0.645+2.206\approx 2.852,k$ K/W
步骤 5：计算热流量
根据热流量公式 $Q=\dfrac {\Delta T}{{R}_{t}{t}_{1}}$，其中 $\Delta T={T}_{maer}-{I}_{outat}=100-20=80,R$。代入数据：
$Q=\dfrac {80}{2.852}\approx 28.04$ W
首先，计算铝制空心球的内外壁的导热热阻。内半径（r1） = 0.02 m，外半径（r2）= 0.04 m。铝材的导热热阻计算公式为：
$[ {R}_{COnd}=\dfrac {\ln (\dfrac {{r}_{2}}{{r}_{1}})}_{2}{(r)}_{2}(r),{(R+r)}_{2}(r)}$
其中，(k) 为铝的导热系数（铝的导热系数约为 205 W/(m·K)），而 (L) 为球的高度（对于球体，考虑单位面积，即 (L=1) m）。代入数据：
$[ {R}_{COnd}=\dfrac {\ln (\dfrac {0.04}{0.02})}{2\pi \cdot 205\cdot 1}=\dfrac {\ln (2)}{2\pi \cdot 205}] $
$=\dfrac {0.693}{1291.5}\approx 0.000537$ K/W
步骤 2：计算保温层的热阻
保温层的厚度为 (0.04 - 0.02 = 0.02) m，导热系数 $(k=0.1,W/(m\cdot K))$。保温层的导热热阻计算公式为：
${R}_{ins}=\dfrac {\ln (\dfrac {{r}_{3}}{2\pi kL})$
代入数据：
${R}_{inS}=\dfrac {\ln (\dfrac {0.06}{0.04})}{2\pi \cdot 0.1\cdot 1}=\dfrac {\ln (1.5)}{0.6283}$
$=\dfrac {0.405}{0.6283}\approx 0.645$, $k\ykparallel W$
步骤 3：计算对流热阻
外流体的表面传热系数为$(h=20,W/({m}^{2}\cdot k))$。保温层的外半径为$({r}_{3}=0.06,m)$。对流热阻计算公式为：
${R}_{Cunv}=\dfrac {1}{h\cdot 4\pi {{r}_{3}}^{2}}$
$=\dfrac {1}{20\cdot 4\pi {(0.06)}^{2}}=\dfrac {1}{20\cdot 4\pi \cdot 0.0036}$
$=\dfrac {1}{0.453}\approx 2.206$ K/W
步骤 4：总热阻计算
总热阻为各部分热阻之和：
${R}_{tolal}={R}_{COHCl}+{R}_{IIIS}+{R}_{COIV}$
$=0.000537+0.645+2.206\approx 2.852,k$ K/W
步骤 5：计算热流量
根据热流量公式 $Q=\dfrac {\Delta T}{{R}_{t}{t}_{1}}$，其中 $\Delta T={T}_{maer}-{I}_{outat}=100-20=80,R$。代入数据：
$Q=\dfrac {80}{2.852}\approx 28.04$ W