题目
图示矩形截面简支梁,承受均布载荷q作用。若已知 =2kN/m, l=3m h=2b-|||-=240mm 试求:截面竖放(图c)和横放(图b)时梁内的最大正应力,并加以比较。-|||-q-|||-b-|||-(a) (b) (c)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算最大弯矩
根据简支梁在均布载荷作用下的最大弯矩公式，我们有：
\[ M_{max} = \frac{q l^2}{8} \]
其中，q是均布载荷，l是梁的长度。将给定的数值代入公式中，得到：
\[ M_{max} = \frac{2 \times 10^3 N/m \times (3m)^2}{8} = 2.25 \times 10^3 N \cdot m \]
步骤 2：确定最大正应力
最大正应力的计算公式为：
\[ \sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot c}{I} \]
其中，c是截面的中性轴到最远点的距离，I是截面对中性轴的惯性矩。对于矩形截面，惯性矩I的计算公式为：
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
其中，b是矩形截面的宽度，h是矩形截面的高度。对于竖放和横放两种情况，c和I的值会有所不同。
竖放时，b=120mm，h=240mm，c=h/2=120mm，I竖放=120mm×(240mm)^3/12=11520000mm^4。
\[ \sigma_{max}^{竖放} = \frac{2.25 \times 10^3 N \cdot m \times 120mm}{11520000mm^4} = \frac{2.25 \times 10^3 \times 120}{11520} = 25N/mm^2 \]
横放时，b=240mm，h=120mm，c=h/2=60mm，I横放=240mm×(120mm)^3/12=2880000mm^4。
\[ \sigma_{max}^{横放} = \frac{2.25 \times 10^3 N \cdot m \times 60mm}{2880000mm^4} = \frac{2.25 \times 10^3 \times 60}{2880} = 50N/mm^2 \]
步骤 3：比较平放与竖放时的最大正应力
比较竖放和横放时的最大正应力，可以看出横放时的最大正应力是竖放时的两倍。
根据简支梁在均布载荷作用下的最大弯矩公式，我们有：
\[ M_{max} = \frac{q l^2}{8} \]
其中，q是均布载荷，l是梁的长度。将给定的数值代入公式中，得到：
\[ M_{max} = \frac{2 \times 10^3 N/m \times (3m)^2}{8} = 2.25 \times 10^3 N \cdot m \]
步骤 2：确定最大正应力
最大正应力的计算公式为：
\[ \sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot c}{I} \]
其中，c是截面的中性轴到最远点的距离，I是截面对中性轴的惯性矩。对于矩形截面，惯性矩I的计算公式为：
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
其中，b是矩形截面的宽度，h是矩形截面的高度。对于竖放和横放两种情况，c和I的值会有所不同。
竖放时，b=120mm，h=240mm，c=h/2=120mm，I竖放=120mm×(240mm)^3/12=11520000mm^4。
\[ \sigma_{max}^{竖放} = \frac{2.25 \times 10^3 N \cdot m \times 120mm}{11520000mm^4} = \frac{2.25 \times 10^3 \times 120}{11520} = 25N/mm^2 \]
横放时，b=240mm，h=120mm，c=h/2=60mm，I横放=240mm×(120mm)^3/12=2880000mm^4。
\[ \sigma_{max}^{横放} = \frac{2.25 \times 10^3 N \cdot m \times 60mm}{2880000mm^4} = \frac{2.25 \times 10^3 \times 60}{2880} = 50N/mm^2 \]
步骤 3：比较平放与竖放时的最大正应力
比较竖放和横放时的最大正应力，可以看出横放时的最大正应力是竖放时的两倍。