题目
a)设有一刚球模型,球的直径不变,当由面心立方晶格转变为体心立方晶格时,试计算其体积膨胀。b)经X射线测定,在912°C时Y-Fe的晶格常数为0. 3633nm, a -Fe的晶格常数为0. 2892nm,当由丫7^转化为。-卩。时,求其体积膨胀,并与a)比较,说明其差别 的原因。
a)设有一刚球模型,球的直径不变,当由面心立方晶格转变为体
心立方晶格时,试计算其体积膨胀。b)经X射线测定,在912°C时
Y-Fe的晶格常数为0. 3633nm, a -Fe的晶格常数为0. 2892nm,当由
丫7^转化为。-卩。时,求其体积膨胀,并与a)比较,说明其差别 的原因。
题目解答
答案
解:a)令面心立方晶格与体心立方晶格的体积及晶格常数分别
为V面、V踢与a面、a体,钢球的半径为「由晶体结构可知,对 于面心晶胞有
4r= V2a 面,a 面=2 V2/2r, V 面二(a 面)3= (2 V2r) 3 对于体心晶胞有
4r= V 3a 体,a 体=4 V 3/3r, V 体二(a 体)3二(4 V 3/3r) 3
则由面心立方晶胞转变为体心立方晶胞的体积膨胀AV为
△V二2X V 休-V 面二2. Olr3
B)按照晶格常数计算实际转变体积膨胀AV实,有
AV 实二2AV 体-V 面二2x (0. 2892) 3-(0. 3633) 3=0. 000425nm3 实际体积膨胀小于理论体积膨胀的原因在于由Y-Fe转化为a
-Fe时,Fe原子的半径发生了变化,原子半径减小了。
解析
步骤 1：计算面心立方晶格的体积
面心立方晶格中，每个晶胞包含4个原子，晶胞的边长为a面。根据面心立方晶格的结构，可以得到：
\[ 4r = \sqrt{2}a_{面} \]
\[ a_{面} = 2\sqrt{2}r \]
因此，面心立方晶格的体积为：
\[ V_{面} = a_{面}^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3 \]
步骤 2：计算体心立方晶格的体积
体心立方晶格中，每个晶胞包含2个原子，晶胞的边长为a体。根据体心立方晶格的结构，可以得到：
\[ 4r = \sqrt{3}a_{体} \]
\[ a_{体} = \frac{4\sqrt{3}}{3}r \]
因此，体心立方晶格的体积为：
\[ V_{体} = a_{体}^3 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}r\right)^3 = \frac{64\sqrt{3}}{27}r^3 \]
步骤 3：计算体积膨胀
体积膨胀为体心立方晶格体积减去面心立方晶格体积：
\[ \Delta V = V_{体} - V_{面} = \frac{64\sqrt{3}}{27}r^3 - 16\sqrt{2}r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3}}{27} - 16\sqrt{2}\right)r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3}}{27} - \frac{432\sqrt{2}}{27}\right)r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3} - 432\sqrt{2}}{27}\right)r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3} - 432\sqrt{2}}{27}\right)r^3 \approx 2.01r^3 \]
步骤 4：计算实际体积膨胀
根据题目给出的晶格常数，计算实际体积膨胀：
\[ V_{体} = (0.2892)^3 = 0.02416 \, \text{nm}^3 \]
\[ V_{面} = (0.3633)^3 = 0.04799 \, \text{nm}^3 \]
\[ \Delta V_{实} = 2V_{体} - V_{面} = 2 \times 0.02416 - 0.04799 = 0.00033 \, \text{nm}^3 \]
步骤 5：解释实际体积膨胀与理论体积膨胀的差别
实际体积膨胀小于理论体积膨胀的原因在于由Y-Fe转化为a-Fe时，Fe原子的半径发生了变化，原子半径减小了。
面心立方晶格中，每个晶胞包含4个原子，晶胞的边长为a面。根据面心立方晶格的结构，可以得到：
\[ 4r = \sqrt{2}a_{面} \]
\[ a_{面} = 2\sqrt{2}r \]
因此，面心立方晶格的体积为：
\[ V_{面} = a_{面}^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3 \]
步骤 2：计算体心立方晶格的体积
体心立方晶格中，每个晶胞包含2个原子，晶胞的边长为a体。根据体心立方晶格的结构，可以得到：
\[ 4r = \sqrt{3}a_{体} \]
\[ a_{体} = \frac{4\sqrt{3}}{3}r \]
因此，体心立方晶格的体积为：
\[ V_{体} = a_{体}^3 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}r\right)^3 = \frac{64\sqrt{3}}{27}r^3 \]
步骤 3：计算体积膨胀
体积膨胀为体心立方晶格体积减去面心立方晶格体积：
\[ \Delta V = V_{体} - V_{面} = \frac{64\sqrt{3}}{27}r^3 - 16\sqrt{2}r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3}}{27} - 16\sqrt{2}\right)r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3}}{27} - \frac{432\sqrt{2}}{27}\right)r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3} - 432\sqrt{2}}{27}\right)r^3 \]
\[ \Delta V = \left(\frac{64\sqrt{3} - 432\sqrt{2}}{27}\right)r^3 \approx 2.01r^3 \]
步骤 4：计算实际体积膨胀
根据题目给出的晶格常数，计算实际体积膨胀：
\[ V_{体} = (0.2892)^3 = 0.02416 \, \text{nm}^3 \]
\[ V_{面} = (0.3633)^3 = 0.04799 \, \text{nm}^3 \]
\[ \Delta V_{实} = 2V_{体} - V_{面} = 2 \times 0.02416 - 0.04799 = 0.00033 \, \text{nm}^3 \]
步骤 5：解释实际体积膨胀与理论体积膨胀的差别
实际体积膨胀小于理论体积膨胀的原因在于由Y-Fe转化为a-Fe时，Fe原子的半径发生了变化，原子半径减小了。