弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系( )。A. 平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B. 平衡方程、物理方程相同，几何方程不同C. 平衡方程、几何方程相同，物理方程不同D. 几何方程、物理方程相同，平衡方程不同

本题考查弹性力学平面问题中平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程的关系，解题思路是分别分析平衡方程、几何方程和物理方程在两种问题中的特点。

平衡方程

在弹性力学平面问题中，无论是平面应力问题还是平面应变问题，都假设物体在 $z$ 方向的尺寸远小于 $x$ 和 $y$ 方向的尺寸，且体力和应力等都不随 $z$ 变化。根据微元体的平衡条件，在 $x$ 和 $y$ 方向列出的平衡方程形式是相同的。平面问题的平衡方程为：
\(\begin{cases} \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+f_{x}=0\\ \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+f_{y}=0 \end{cases}\)
其中 $\sigma_{x}$、$\sigma_{y}$ 是正应力，$\tau_{xy}$、$\tau_{yx}$ 是切应力，$f_{x}$、$f_{y}$ 是 $x$ 和 $y$ 方向的体力分量。所以平面应力问题和平面应变问题的平衡方程相同。

几何方程

几何方程描述的是物体的变形与位移之间的关系。对于平面问题，无论是平面应力还是平面应变，物体的变形只在 $x - y$ 平面内，其应变分量 $\varepsilon_{x}$、$\varepsilon_{y}$ 和 $\gamma_{xy}$ 与位移分量 $u$、$v$ 之间的关系都是：
\(\begin{cases} \varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}\\ \varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}\)
所以平面应力问题和平面应变问题的几何方程相同。

物理方程

物理方程建立了应力与应变之间的关系。

• 平面应力问题：物理方程为
  \(\begin{cases} \sigma_{x}=\frac{E}{1 - \mu^{2}}(\varepsilon_{x}+\mu\varepsilon_{y})\\ \sigma_{y}=\frac{E}{1 - \mu^{2}}(\varepsilon_{y}+\mu\varepsilon_{x})\\ \tau_{xy}=\frac{E}{2(1 + \mu)}\gamma_{xy} \end{cases}\)
  其中 $E$ 是弹性模量，$\mu$ 是泊松比。
• 平面应变问题：由于在 $z$ 方向没有变形，即 $\varepsilon_{z}=0$，根据广义胡克定律，其物理方程为
  \(\begin{cases} \sigma_{x}=\frac{E(1 - \mu)}{(1 + \mu)(1 - 2\mu)}(\varepsilon_{x}+\frac{\mu}{1 - \mu}\varepsilon_{y})\\ \sigma_{y}=\frac{E(1 - \mu)}{(1 + \mu)(1 - 2\mu)}(\varepsilon_{y}+\frac{\mu}{1 - \mu}\varepsilon_{x})\\ \tau_{xy}=\frac{E}{2(1 + \mu)}\gamma_{xy} \end{cases}\)
  可以看出平面应力问题和平面应变问题的物理方程不同。

综上，平面应力问题与平面应变问题的平衡方程、几何方程相同，物理方程不同。