[题目]-|||-链型共轭分子CH2CHCHCHCHC HCHCH2在长波-|||-方向460nm处出现第一个强吸收峰,试按一维势-|||-箱模型估算其长度。

本题考察一维势箱模型在链型共轭分子中的应用，核心是通过电子跃迁能量计算势箱长度。具体思路如下：

1. 确定π电子数与跃迁能级

链型共轭分子$\text{CH}_2\text{CHCHCHCHCHCHCH}_2$（共8个碳原子），每个双键碳贡献1个π电子，形成$\pi_{8}^{8}$离域π键（8个π电子填充8个分子轨道）。基态时，π电子占据能量最低的前4个轨道（$n=1,2,3,4$）；激发时，电子从最高占据轨道（HOMO，$n=4$）跃迁到最低空轨道（LUMO，$n=5$），此跃迁对应长波方向的第一个强吸收峰。

2. 一维势箱模型的能量公式

一维势箱中粒子的能量公式为：
$E_n = \frac{n^2h^2}{8ml^2}$
式中：$n$为量子数，$h$为普朗克常数，$m$为电子质量，$l$为势箱长度。

跃迁能量$\Delta E = E_5 - E_4$，代入能量公式：
$\Delta E = \frac{5^2h^2}{8ml^2} - \frac{4^2h^2}{8ml^2} = \frac{(25-16)h^2}{8ml^2} = \frac{9h^2}{8ml^2}$

3. 跃迁能量与吸收波长的关系

吸收光子能量等于跃迁能量：
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$
联立上述两式，消去$\Delta E$得：
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{9h^2}{8ml^2}$

4. 求解势箱长度$l$

整理公式得：
$l = \sqrt{\frac{9h\lambda}{8mc}}$

代入常数：

• $h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$
• $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$
• $m = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}$
• $\lambda = 460 \, \text{nm} = 460 \times 10^{-9} \, \text{m}$

计算得：
$l \approx 1120 \, \text{pm}$