题目

1. 某一圆形钢棒直径为 10 mathrm(~mm)，在拉伸断裂时直径变为 8 mathrm(~mm)，此种钢的抗拉强度为 538 mathrm(MPa)，请计算钢棒的断面收缩率和能承受的最大载荷？

1. 某一圆形钢棒直径为 $10 \mathrm{~mm}$，在拉伸断裂时直径变为 $8 \mathrm{~mm}$，此种钢的抗拉强度为 $538 \mathrm{MPa}$，请计算钢棒的断面收缩率和能承受的最大载荷？

题目解答

答案

1. 原始横截面积：$ A_0 = \pi r_0^2 = 78.54 \, \text{mm}^2 $。 2. 断裂后横截面积：$ A_f = \pi r_f^2 = 50.27 \, \text{mm}^2 $。 3. 断面收缩率： \[ \psi = \frac{A_0 - A_f}{A_0} \times 100\% = \frac{28.27}{78.54} \times 100\% \approx 36\% \] 4. 最大载荷： \[ P_{\max} = R_m \times A_0 = 538 \times 78.54 = 42254.52 \, \text{N} \approx 42.25 \, \text{kN} \] 最终结果： - 断面收缩率约为 36%。 - 最大载荷约为 42.25 kN。

解析

考查要点：本题主要考查材料力学中的断面收缩率计算和最大载荷确定，涉及几何面积变化与强度公式的应用。

解题核心思路：

  1. 断面收缩率：通过原始截面积与断裂后截面积的差值与原始截面积的比值计算，需注意单位统一。
  2. 最大载荷：利用抗拉强度与原始截面积的乘积求得，需正确应用应力与力的转换关系。

破题关键点：

  • 截面积计算：圆形截面面积公式 $A = \pi r^2$，注意直径转换为半径。
  • 公式选择：断面收缩率公式 $\psi = \frac{A_0 - A_f}{A_0} \times 100\%$，最大载荷公式 $P_{\max} = R_m \times A_0$。

1. 计算原始横截面积 $A_0$

原始直径 $d_0 = 10 \, \text{mm}$，半径 $r_0 = \frac{d_0}{2} = 5 \, \text{mm}$：
$A_0 = \pi r_0^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54 \, \text{mm}^2$

2. 计算断裂后横截面积 $A_f$

断裂后直径 $d_f = 8 \, \text{mm}$，半径 $r_f = \frac{d_f}{2} = 4 \, \text{mm}$：
$A_f = \pi r_f^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50.27 \, \text{mm}^2$

3. 计算断面收缩率 $\psi$

$\psi = \frac{A_0 - A_f}{A_0} \times 100\% = \frac{78.54 - 50.27}{78.54} \times 100\% \approx 36\%$

4. 计算最大载荷 $P_{\max}$

抗拉强度 $R_m = 538 \, \text{MPa} = 538 \, \text{N/mm}^2$：
$P_{\max} = R_m \times A_0 = 538 \times 78.54 = 42254.52 \, \text{N} \approx 42.25 \, \text{kN}$