1、当α=20°，ha*=1，c*=0.25时，若渐开线直齿圆柱标准齿轮的齿根圆和基圆相重合， 其齿数应为多少？又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与齿根圆哪个大？

考查要点：本题主要考查渐开线直齿圆柱标准齿轮的基圆与齿根圆直径的计算，以及齿数变化对两者大小关系的影响。

解题核心思路：

1. 基圆直径公式：$d_b = m z \cos \alpha$；
2. 齿根圆直径公式：$d_f = m(z - 2(h_a^* + c^*))$；
3. 当基圆与齿根圆重合时，联立方程求解齿数$z$；
4. 分析齿数变化时，比较基圆与齿根圆直径的大小关系。

破题关键点：

• 正确写出基圆和齿根圆的表达式，并建立等式；
• 解方程时注意模数$m$的约去，简化计算；
• 理解齿数必须为整数，需取近似值后的整数解；
• 通过代数分析，判断齿数增加时基圆与齿根圆的大小变化。

1. 基圆与齿根圆直径的表达式

• 基圆直径：$d_b = m z \cos \alpha$；
• 齿根圆直径：$d_f = m \left[ z - 2(h_a^* + c^*) \right]$，其中$h_a^* = 1$，$c^* = 0.25$，代入得：
  $d_f = m(z - 2.5)$

2. 联立方程求解齿数$z$

当基圆与齿根圆重合时，$d_b = d_f$，即：
$m z \cos 20^\circ = m(z - 2.5)$
约去模数$m$后整理得：
$z \cos 20^\circ = z - 2.5$
解得：
$z = \frac{2.5}{1 - \cos 20^\circ} \approx \frac{2.5}{1 - 0.9397} \approx 41.45$
因此，齿数取整数解为41或42。

3. 齿数大于临界值时的大小关系

当$z > 41.45$时（如$z = 42$），代入原式：

• 基圆直径：$d_b = 42 \cdot \cos 20^\circ \approx 39.47m$；
• 齿根圆直径：$d_f = 42 - 2.5 = 39.5m$；
  此时$d_f > d_b$，即齿根圆更大。