题目
1、当α=20°，ha*=1，c*=0.25时，若渐开线直齿圆柱标准齿轮的齿根圆和基圆相重合， 其齿数应为多少？又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与齿根圆哪个大？
1、当α=20°，ha*=1，c*=0.25时，若渐开线直齿圆柱标准齿轮的齿根圆和基圆相重合， 其齿数应为多少？又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与齿根圆哪个大？
题目解答
答案
设齿轮模数m，齿数z，则基圆直径 mzcos20°；齿根圆直径 mz-2×(1+0.25)m = m(z-2.5)；
当基圆直径等于齿根圆直径的时候，则：mzcos20°=m(z-2.5)；z=2.5/(1-cos20°)=41.4543；
所以，当渐开线标准直齿轮齿数为41齿，或42齿时，齿根圆与基圆重合。
当齿数大于42以后，齿根圆大于基圆。用mzcos20°＜m(z-2.5)计算，即可得出。
当基圆直径等于齿根圆直径的时候，则：mzcos20°=m(z-2.5)；z=2.5/(1-cos20°)=41.4543；
所以，当渐开线标准直齿轮齿数为41齿，或42齿时，齿根圆与基圆重合。
当齿数大于42以后，齿根圆大于基圆。用mzcos20°＜m(z-2.5)计算，即可得出。
解析
步骤 1：确定基圆直径
基圆直径的计算公式为：\(d_b = mz\cos\alpha\)，其中\(m\)是模数，\(z\)是齿数，\(\alpha\)是压力角。已知\(\alpha=20°\)，所以基圆直径为\(d_b = mz\cos20°\)。
步骤 2：确定齿根圆直径
齿根圆直径的计算公式为：\(d_f = mz - 2m(h_a^* + c^*)\)，其中\(h_a^*\)是齿顶高系数，\(c^*\)是顶隙系数。已知\(h_a^* = 1\)，\(c^* = 0.25\)，所以齿根圆直径为\(d_f = mz - 2m(1 + 0.25) = mz - 2.5m\)。
步骤 3：计算齿数
当基圆直径等于齿根圆直径时，有\(mz\cos20° = mz - 2.5m\)。化简得\(z\cos20° = z - 2.5\)，解得\(z = \frac{2.5}{1 - \cos20°}\)。计算得\(z = 41.4543\)。因此，当齿数为41或42时，齿根圆与基圆重合。
步骤 4：比较基圆与齿根圆的大小
当齿数大于42时，基圆直径\(d_b = mz\cos20°\)，齿根圆直径\(d_f = mz - 2.5m\)。由于\(\cos20° < 1\)，所以\(d_b < d_f\)，即齿根圆大于基圆。
基圆直径的计算公式为：\(d_b = mz\cos\alpha\)，其中\(m\)是模数，\(z\)是齿数，\(\alpha\)是压力角。已知\(\alpha=20°\)，所以基圆直径为\(d_b = mz\cos20°\)。
步骤 2：确定齿根圆直径
齿根圆直径的计算公式为：\(d_f = mz - 2m(h_a^* + c^*)\)，其中\(h_a^*\)是齿顶高系数，\(c^*\)是顶隙系数。已知\(h_a^* = 1\)，\(c^* = 0.25\)，所以齿根圆直径为\(d_f = mz - 2m(1 + 0.25) = mz - 2.5m\)。
步骤 3：计算齿数
当基圆直径等于齿根圆直径时，有\(mz\cos20° = mz - 2.5m\)。化简得\(z\cos20° = z - 2.5\)，解得\(z = \frac{2.5}{1 - \cos20°}\)。计算得\(z = 41.4543\)。因此，当齿数为41或42时，齿根圆与基圆重合。
步骤 4：比较基圆与齿根圆的大小
当齿数大于42时，基圆直径\(d_b = mz\cos20°\)，齿根圆直径\(d_f = mz - 2.5m\)。由于\(\cos20° < 1\)，所以\(d_b < d_f\)，即齿根圆大于基圆。