题目

用一虹吸管将水从水库引入灌渠，设虹吸管越过坝顶时，最高截面的垂直高度 z=6(m)，出口截面低于水库中水面的距离 l=3(m)，若每小时需要引水 100(m)^3，求（1）虹吸管的直径 d，（2）判断虹吸管是否能正常吸水。（g 取 10(N/kg)）

用一虹吸管将水从水库引入灌渠，设虹吸管越过坝顶时，最高截面的垂直高度 $z=6\text{m}$，出口截面低于水库中水面的距离 $l=3\text{m}$，若每小时需要引水 $100\text{m}^3$，求（1）虹吸管的直径 $d$，（2）判断虹吸管是否能正常吸水。（$g$ 取 $10\text{N/kg}$）

题目解答

答案

解题过程如下：

  1. 求虹吸管直径 $d$

    • 流量换算：
      $ Q = 100 \, \text{m}^3/\text{h} = \frac{1}{36} \, \text{m}^3/\text{s} $

    • 应用伯努利方程（取水库水面为基准面，出口截面）：
      $\frac{p_a}{\rho g} + z_1 = \frac{p_a}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z_2$
      其中 $z_1 = 0$, $z_2 = -l = -3\,\text{m}$，化简得：
      $\frac{v^2}{2g} = l = 3 \implies v = \sqrt{2gl} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \, \text{m/s}$

    • 由流量公式 $ Q = v \cdot A = v \cdot \frac{\pi d^2}{4} $，解得：
      $d = \sqrt{\frac{4Q}{\pi v}} = \sqrt{\frac{1}{18\pi\sqrt{15}}} \approx 0.0676 \, \text{m} = 67.6 \, \text{mm}$

  2. 判断虹吸管能否正常吸水

    • 分析最高点压强（截面3-3'），应用伯努利方程（从水库水面到最高点）：
      $\frac{p_a}{\rho g} = \frac{p_3}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z$
      代入 $v^2 = 60$, $z = 6\,\text{m}$，得：
      $p_3 = p_a - \rho g \left( \frac{v^2}{2g} + z \right) = 10^5 - 1000 \times 10 \times (3 + 6) = 10^4 \, \text{Pa}$

    • 判断条件：水的汽化压强 $p_v \approx 0$，因 $p_3 = 10^4 \, \text{Pa} > 0$，满足虹吸条件。

最终结果：

  • 虹吸管直径约为 $67.6 \, \text{mm}$；
  • 最高点压强为 $10^4 \, \text{Pa}$，大于汽化压强，虹吸管可正常吸水。

解析

本题主要考察流体力学中的伯努利方程和流量公式的应用。解题思路如下：

  1. 求虹吸管直径 $d$
    • 首先将流量的单位从每小时立方米换算为每秒立方米，因为后续计算需要使用国际单位制。
    • 选取水库水面和虹吸管出口截面作为研究对象，应用伯努利方程。由于水库水面和出口截面都与大气相通，压强均为大气压强 $p_a$，且水库水面流速相对于出口截面流速可忽略不计，设为 $0$。通过伯努利方程可以求出出口截面的流速 $v$。
    • 再根据流量公式 $Q = v\cdot A$（其中 $A$ 为虹吸管的横截面积，$A=\frac{\pi d^2}{4}$），已知流量 $Q$ 和流速 $v$，就可以求出虹吸管的直径 $d$。
  2. 判断虹吸管是否能正常吸水
    • 选取水库水面和虹吸管最高截面作为研究对象，再次应用伯努利方程。已知水库水面压强为大气压强 $p_a$，流速为 $0$，最高截面的高度 $z$ 和流速 $v$（前面已求出），通过伯努利方程可以求出最高截面的压强 $p_3$。
    • 水的汽化压强 $p_v\approx0$，若最高截面的压强 $p_3$ 大于汽化压强 $p_v$，则虹吸管能正常吸水；反之，则不能正常吸水。

下面进行详细的计算：

  1. 求虹吸管直径 $d$
    • 流量换算：
      已知 $Q = 100\ m^3/h$，将其换算为每秒立方米，$Q=\frac{100}{3600}=\frac{1}{36}\ m^3/s$。
    • 应用伯努利方程求流速 $v$：
      取水库水面为基准面，设水库水面为截面 1 - 1'，出口截面为截面 2 - 2'。根据伯努利方程 $\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2$，其中 $p_1 = p_2 = p_a$（大气压强），$v_1\approx0$（水库水面流速可忽略），$z_1 = 0$，$z_2=-l=-3\ m$，代入方程可得：
      $\frac{p_a}{\rho g}+0 + 0=\frac{p_a}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}-3$
      化简得：$\frac{v^2}{2g}=3$
      解得：$v = \sqrt{2gl}=\sqrt{2\times10\times3}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\ m/s$
    • 根据流量公式求直径 $d$：
      由流量公式 $Q = v\cdot A = v\cdot\frac{\pi d^2}{4}$，可得 $d = \sqrt{\frac{4Q}{\pi v}}$，将 $Q=\frac{1}{36}\ m^3/s$，$v = 2\sqrt{15}\ m/s$ 代入可得：
      $d=\sqrt{\frac{4\times\frac{1}{36}}{\pi\times2\sqrt{15}}}=\sqrt{\frac{1}{18\pi\sqrt{15}}}\approx0.0676\ m = 67.6\ mm$
  2. 判断虹吸管是否能正常吸水
    • 应用伯努利方程求最高截面压强 $p_3$：
      设最高截面为截面 3 - 3'，从水库水面到最高截面应用伯努利方程 $\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_3}{\rho g}+\frac{v_3^2}{2g}+z_3$，其中 $p_1 = p_a$，$v_1\approx0$，$z_1 = 0$，$v_3 = v = 2\sqrt{15}\ m/s$，$z_3 = z = 6\ m$，代入方程可得：
      $\frac{p_a}{\rho g}+0 + 0=\frac{p_3}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+6$
      移项可得：$p_3 = p_a-\rho g(\frac{v^2}{2g}+z)$
      将 $v^2 = 60$，$z = 6\ m$，$\rho = 1000\ kg/m^3$，$g = 10\ N/kg$，$p_a = 10^5\ Pa$ 代入可得：
      $p_3 = 10^5-1000\times10\times(3 + 6)=10^5 - 9\times10^4=10^4\ Pa$
    • 判断能否正常吸水：
      水的汽化压强 $p_v\approx0$，因为 $p_3 = 10^4\ Pa\gt{}0$，所以满足虹吸条件，虹吸管能正常吸水。