60Co广泛用于癌症治疗,其半衰期为5.26a(年),则其蜕变速率常数为:_________________,某医院购得该同位素20mg,10a后剩余______________mg。

考查要点：本题主要考查放射性元素的半衰期与蜕变速率常数的关系，以及利用指数衰变公式计算剩余质量。

解题核心思路：

1. 半衰期与速率常数的关系：通过公式 $k = \frac{\ln 2}{t_{\frac{1}{2}}}$ 计算速率常数 $k$。
2. 指数衰变公式应用：利用 $N(t) = N_0 e^{-kt}$ 计算经过时间 $t$ 后的剩余质量。

破题关键点：

• 公式选择：明确半衰期公式与指数衰变公式的关系，正确代入已知条件。
• 单位一致性：确保时间单位统一（本题中均为“年”）。

步骤1：计算蜕变速率常数 $k$

根据半衰期公式：
$k = \frac{\ln 2}{t_{\frac{1}{2}}}$
代入已知半衰期 $t_{\frac{1}{2}} = 5.26 \, \text{a}$：
$k = \frac{\ln 2}{5.26} \approx \frac{0.6931}{5.26} \approx 0.1318 \, \text{a}^{-1}$

步骤2：计算10年后的剩余质量

根据指数衰变公式：
$N(t) = N_0 e^{-kt}$
代入 $N_0 = 20 \, \text{mg}$，$k = 0.1318 \, \text{a}^{-1}$，$t = 10 \, \text{a}$：
$N(10) = 20 \cdot e^{-0.1318 \times 10} = 20 \cdot e^{-1.318} \approx 20 \cdot 0.266 \approx 5.32 \, \text{mg}$
四舍五入后为 $5.4 \, \text{mg}$。