题目
7.单元体各截面的应力如图7.20所示(应力单位为MPa),试用解析法与应力圆计-|||-算主应力的大小及所在截面的方位,并在单元体中画出。-|||-20 30-|||-square 20 square 20 20-|||-40-|||-(a) (b)-|||-图7.20
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应力状态
对于(a)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=20MPa$ ,${\sigma }_{y}=40MPa$ ,${\tau }_{xy}=20MPa$。
对于(b)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=30MPa$ ,${\sigma }_{y}=20MPa$ ,${\tau }_{xy}=20MPa$。
步骤 2：计算主应力
对于(a)图，主应力计算公式为：
${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
代入数值，得：
${\sigma }_{1,2}=\frac{20+40}{2}\pm \sqrt{{(\frac{20-40}{2})}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt{{(-10)}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt{100+400}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt{500}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm 22.36$
${\sigma }_{1}=52.4MPa$ ,${\sigma }_{2}=7.64MPa$ ,${\sigma }_{3}=0$ (因为是平面应力状态，所以${\sigma }_{3}=0$)。
对于(b)图，主应力计算公式为：
${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
代入数值，得：
${\sigma }_{1,2}=\frac{30+20}{2}\pm \sqrt{{(\frac{30-20}{2})}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm \sqrt{{(5)}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm \sqrt{25+400}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm \sqrt{425}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm 20.62$
${\sigma }_{1}=37MPa$ ,${\sigma }_{2}=-27MPa$ ,${\sigma }_{3}=0$ (因为是平面应力状态，所以${\sigma }_{3}=0$)。
步骤 3：计算主应力所在截面的方位
对于(a)图，主应力所在截面的方位角计算公式为：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
代入数值，得：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2\times 20}{20-40}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{40}{-20}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan (-2)$
${\alpha }_{0}=-{31.8}^{\circ }$
对于(b)图，主应力所在截面的方位角计算公式为：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
代入数值，得：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2\times 20}{30-20}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{40}{10}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan 4$
${\alpha }_{0}=-{70.5}^{\circ }$
对于(a)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=20MPa$ ,${\sigma }_{y}=40MPa$ ,${\tau }_{xy}=20MPa$。
对于(b)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=30MPa$ ,${\sigma }_{y}=20MPa$ ,${\tau }_{xy}=20MPa$。
步骤 2：计算主应力
对于(a)图，主应力计算公式为：
${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
代入数值，得：
${\sigma }_{1,2}=\frac{20+40}{2}\pm \sqrt{{(\frac{20-40}{2})}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt{{(-10)}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt{100+400}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm \sqrt{500}$
${\sigma }_{1,2}=30\pm 22.36$
${\sigma }_{1}=52.4MPa$ ,${\sigma }_{2}=7.64MPa$ ,${\sigma }_{3}=0$ (因为是平面应力状态，所以${\sigma }_{3}=0$)。
对于(b)图，主应力计算公式为：
${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
代入数值，得：
${\sigma }_{1,2}=\frac{30+20}{2}\pm \sqrt{{(\frac{30-20}{2})}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm \sqrt{{(5)}^{2}+{20}^{2}}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm \sqrt{25+400}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm \sqrt{425}$
${\sigma }_{1,2}=25\pm 20.62$
${\sigma }_{1}=37MPa$ ,${\sigma }_{2}=-27MPa$ ,${\sigma }_{3}=0$ (因为是平面应力状态，所以${\sigma }_{3}=0$)。
步骤 3：计算主应力所在截面的方位
对于(a)图，主应力所在截面的方位角计算公式为：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
代入数值，得：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2\times 20}{20-40}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{40}{-20}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan (-2)$
${\alpha }_{0}=-{31.8}^{\circ }$
对于(b)图，主应力所在截面的方位角计算公式为：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
代入数值，得：
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{2\times 20}{30-20}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan \frac{40}{10}$
${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\arctan 4$
${\alpha }_{0}=-{70.5}^{\circ }$