题目

293 K 101.325 kPa 下 将半径 R _ 1 = 1 mm 的汞滴分散成半径 R _ 2 = 10 ^ -5 mm 的微小汞滴问表面积增加了多少倍表 面 Gibbs 自由能增加了多少倍

293 K 101.325 kPa 下 将半径 R _ 1 = 1 mm 的汞滴分散成半径 R _ 2 = 10 ^ -5 mm 的微小汞滴问表面积增加了多少倍表 面 Gibbs 自由能增加了多少倍

题目解答

答案

解：根据半径 R 与汞滴表面积 A 的关系 A=4 \pi R^{2} 可以计算出初始汞滴的表面积为： A_{1}=4 \pi R_{1}^{2}=4 \pi (1mm)^{2}=4 \pi mm^{2} 同样地，根据 R 与 A 的关系，可以计算出微小汞滴的表面积为： A_{2}=4 \pi R_{2}^{2}=4 \pi (10^{-5}mm)^{2}=4 \pi \times 10^{-10}mm^{2} 因此，微小汞滴的表面积相对于初始汞滴的表面积增加了 \dfrac {A_{2}}{A_{1}}= \dfrac {4 \pi \times 10^{-10}mm^{2}}{4 \pi mm^{2}}=10^{-8} 即增加了 10^{8} 倍。 对于表面 Gibbs 自由能的计算，考虑使用 Gibbs 自由能的表面密度 ^{^{\circ}} ，它表示单位表面积的自由能。 可以通过下式计算表面密度： \gamma = \dfrac {dG}{dA} 其中 dG 表示表面 Gibbs 自由能的微小变化。 对于表面 Gibbs 自由能的微小变化，可以根据下式计算： G=-SdT+ \gamma dA+Vdp 其中 S 表示汞滴的熵， T 表示温度， 表示物体的体积， d 表示汞滴所在的气体的压强。 由于汞滴的体积很小，可以近似认为它的体积为常数。在常温下，汞滴的熵也可以近似认为是常数。 因此，可以将上式简化为： dG= \gamma dA 表面 Gibbs 自由能的微小变化等于表面积的微小变化与表面密度的乘积。因此，表面 Gibbs 自由能的增加倍数等于表面积的增加倍数。即表面 Gibbs 自由能增加了 10^{8} 倍。 因此，微小汞滴的表面积相对于初始汞滴的表面积增加了 10^{8} 倍，表面 Gibbs 自由能增加了 10^{8} 倍。

解析

考查要点：本题主要考查球体表面积的计算以及表面Gibbs自由能与表面积的关系。
解题核心思路：

  1. 表面积变化：根据球体表面积公式 $A = 4\pi R^2$，比较初始汞滴与微小汞滴的表面积比值。
  2. 表面Gibbs自由能变化：表面Gibbs自由能与表面积成正比（假设表面自由能密度 $\gamma$ 不变），因此其变化倍数与表面积变化倍数相同。
    关键点：明确表面积与半径平方成正比，以及表面自由能与表面积的线性关系。

表面积变化计算

  1. 初始汞滴表面积：
    $A_1 = 4\pi R_1^2 = 4\pi (1 \, \text{mm})^2 = 4\pi \, \text{mm}^2$
  2. 微小汞滴表面积：
    $A_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (10^{-5} \, \text{mm})^2 = 4\pi \times 10^{-10} \, \text{mm}^2$
  3. 表面积增加倍数：
    $\frac{A_2}{A_1} = \frac{4\pi \times 10^{-10} \, \text{mm}^2}{4\pi \, \text{mm}^2} = 10^{-8}$
    即表面积增加了 $10^8$ 倍。

表面Gibbs自由能变化计算

  1. 表面自由能密度：
    表面Gibbs自由能密度 $\gamma$ 定义为单位表面积的自由能，即 $\gamma = \frac{dG}{dA}$。
  2. 总表面自由能：
    总表面自由能 $G = \gamma A$，因此其变化倍数与表面积变化倍数相同。
  3. 结论：
    表面Gibbs自由能增加了 $10^8$ 倍。