4.2用高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组-|||- _{0)lt 0.005

考查要点：本题主要考查高斯-塞德尔迭代法的应用，以及迭代终止条件的判断。
解题核心思路：

1. 将方程组转化为迭代形式，利用高斯-塞德尔法的“及时更新”策略，即每次计算出新值后立即用于后续变量的计算。
2. 迭代过程中，需逐步更新变量值，并计算相邻两次迭代解的差的加权无穷范数，直到满足终止条件。
   破题关键点：

• 正确写出迭代公式，确保每个变量的更新顺序和依赖关系正确。
• 准确计算迭代过程，注意保留足够的小数位以减少误差。
• 判断终止条件时，需比较相邻两次迭代解的最大绝对差是否小于给定阈值。

迭代公式推导

将方程组改写为：
$\begin{cases} x_1 = \dfrac{2 - x_2}{3} \\ x_2 = \dfrac{1 - x_1}{2} \end{cases}$
高斯-塞德尔法的特点是：在计算$x_2^{(k+1)}$时，直接使用刚计算出的$x_1^{(k+1)}$，而非上一迭代的$x_1^{(k)}$。

迭代过程

1. 初始猜测：$x^{(0)} = [0, 0]^T$
2. 第一次迭代：
   • $x_1^{(1)} = \dfrac{2 - 0}{3} \approx 0.6667$
   • $x_2^{(1)} = \dfrac{1 - 0.6667}{2} \approx 0.1667$
   • $x^{(1)} = [0.6667, 0.1667]^T$
3. 第二次迭代：
   • $x_1^{(2)} = \dfrac{2 - 0.1667}{3} \approx 0.6111$
   • $x_2^{(2)} = \dfrac{1 - 0.6111}{2} \approx 0.1944$
   • $x^{(2)} = [0.6111, 0.1944]^T$
4. 第三次迭代：
   • $x_1^{(3)} = \dfrac{2 - 0.1944}{3} \approx 0.6019$
   • $x_2^{(3)} = \dfrac{1 - 0.6019}{2} \approx 0.1990$
   • $x^{(3)} = [0.6019, 0.1990]^T$
5. 第四次迭代：
   • $x_1^{(4)} = \dfrac{2 - 0.1990}{3} \approx 0.6003$
   • $x_2^{(4)} = \dfrac{1 - 0.6003}{2} \approx 0.19985$
   • $x^{(4)} = [0.6003, 0.19985]^T$

终止条件判断

计算相邻两次迭代的差：
$\|x^{(4)} - x^{(3)}\|_\infty = \max\{|0.6003 - 0.6019|, |0.19985 - 0.1990|\} = \max\{0.0016, 0.00085\} = 0.0016 < 0.005$
满足终止条件，迭代停止。