[填空题] 一标准直齿圆柱的齿距为15.7mm，齿顶圆直径为400mm，则该齿轮的齿数为（）。

考查要点：本题主要考查标准直齿圆柱齿轮的基本参数计算，涉及齿距、模数、齿顶圆直径与齿数之间的关系。

解题核心思路：

1. 利用齿距公式求模数：标准齿轮的齿距 $P = \pi m$，由此可求出模数 $m$。
2. 利用齿顶圆直径公式求齿数：齿顶圆直径 $d_a = m(z + 2)$，代入已知模数和齿顶圆直径，解方程即可得到齿数 $z$。

破题关键点：

• 正确应用公式：明确齿距与模数的关系，以及齿顶圆直径与模数、齿数的关系。
• 代数运算：通过代入已知量逐步求解未知量。

步骤1：计算模数

已知齿距 $P = 15.7 \, \text{mm}$，根据公式 $P = \pi m$，得：
$m = \frac{P}{\pi} = \frac{15.7}{3.14} = 5 \, \text{mm}$

步骤2：代入齿顶圆直径公式

已知齿顶圆直径 $d_a = 400 \, \text{mm}$，根据公式 $d_a = m(z + 2)$，代入 $m = 5 \, \text{mm}$：
$400 = 5 \times (z + 2)$

步骤3：解方程求齿数

整理方程：
$z + 2 = \frac{400}{5} = 80 \quad \Rightarrow \quad z = 80 - 2 = 78$