题目
293K,101.325kPa下，将半径293K,101.325kPa的汞滴分散成半径293K,101.325kPa的微小汞滴，问表面积增加了多少倍？表面 Gibbs 自由能增加了多少倍？
下，将半径
的汞滴分散成半径
的微小汞滴，问表面积增加了多少倍？表面 Gibbs 自由能增加了多少倍？
题目解答
答案
解：根据半径
与汞滴表面积
的关系
可以计算出初始汞滴的表面积为：
同样地，根据与的关系，可以计算出微小汞滴的表面积为：
因此，微小汞滴的表面积相对于初始汞滴的表面积增加了
即增加了
倍。
对于表面 Gibbs 自由能的计算，考虑使用 Gibbs 自由能的表面密度
，它表示单位表面积的自由能。
可以通过下式计算表面密度：
其中
表示表面 Gibbs 自由能的微小变化。
对于表面 Gibbs 自由能的微小变化，可以根据下式计算：
其中
表示汞滴的熵，
表示温度，
表示物体的体积，
表示汞滴所在的气体的压强。
由于汞滴的体积很小，可以近似认为它的体积为常数。在常温下，汞滴的熵也可以近似认为是常数。
因此，可以将上式简化为：
表面 Gibbs 自由能的微小变化等于表面积的微小变化与表面密度的乘积。因此，表面 Gibbs 自由能的增加倍数等于表面积的增加倍数。即表面 Gibbs 自由能增加了倍。
因此，微小汞滴的表面积相对于初始汞滴的表面积增加了倍，表面 Gibbs 自由能增加了倍。
解析
步骤 1：计算初始汞滴的表面积
根据球体表面积公式$A=4\pi {R}^{2}$，可以计算出初始汞滴的表面积为：
${A}_{1}=4\pi {{R}_{1}}^{2}=4\pi {(1mm)}^{2}=4\pi {mm}^{2}$
步骤 2：计算微小汞滴的表面积
同样地，根据球体表面积公式，可以计算出微小汞滴的表面积为：
${A}_{2}=4\pi {{R}_{2}}^{2}=4\pi {({10}^{-5}mm)}^{2}=4\pi \times {10}^{-10}{mm}^{2}$
步骤 3：计算表面积增加的倍数
表面积增加的倍数为：
$\dfrac {{A}_{2}}{{A}_{1}}=\dfrac {4\pi \times {10}^{-10}{mm}^{2}}{4\pi {mm}^{2}}={10}^{-10}$
步骤 4：计算表面 Gibbs 自由能增加的倍数
由于表面 Gibbs 自由能的增加与表面积的增加成正比，因此表面 Gibbs 自由能增加的倍数也等于表面积增加的倍数，即${10}^{-10}$倍。
根据球体表面积公式$A=4\pi {R}^{2}$，可以计算出初始汞滴的表面积为：
${A}_{1}=4\pi {{R}_{1}}^{2}=4\pi {(1mm)}^{2}=4\pi {mm}^{2}$
步骤 2：计算微小汞滴的表面积
同样地，根据球体表面积公式，可以计算出微小汞滴的表面积为：
${A}_{2}=4\pi {{R}_{2}}^{2}=4\pi {({10}^{-5}mm)}^{2}=4\pi \times {10}^{-10}{mm}^{2}$
步骤 3：计算表面积增加的倍数
表面积增加的倍数为：
$\dfrac {{A}_{2}}{{A}_{1}}=\dfrac {4\pi \times {10}^{-10}{mm}^{2}}{4\pi {mm}^{2}}={10}^{-10}$
步骤 4：计算表面 Gibbs 自由能增加的倍数
由于表面 Gibbs 自由能的增加与表面积的增加成正比，因此表面 Gibbs 自由能增加的倍数也等于表面积增加的倍数，即${10}^{-10}$倍。