水以 0.8 mathrm(~kg/s) 的流量在内径 d=2.5 mathrm(~cm) 的管内流动，管子内表面温度为 90^circ mathrm(C)，进口处水的温度为 20^circ mathrm(C)。试求水被加热至 40^circ mathrm(C) 时所需的管长。

本题考查对流传热的相关知识，解题的关键思路是先根据水的平均温度确定其物性参数，再通过雷诺数判断流态，进而计算努塞尔数和对流换热系数，然后求出总热量，最后根据热平衡方程计算所需的管长。具体步骤如下：

1. 计算水的平均温度：
   水的平均温度$T_m$根据进口温度$T_{in}$和出口温度$T_{out}$计算，公式为$T_m=\frac{T_{in} + T_{out}}{2}$。
   已知$T_{in}=20^{\circ}C$，$T_{out}=40^{\circ}C$，代入可得：
   $T_m=\frac{20 + 40}{2}=30^{\circ}C$
2. 确定水在平均温度下的物性参数：
   根据题目所给条件，在$T_m = 30^{\circ}C$时，水的比热容$c_p = 4178 \, \text{J/(kg·K)}$，导热系数$k = 0.613 \, \text{W/(m·K)}$，普朗特数$Pr = 5.42$。
3. 计算雷诺数判断流态：
   雷诺数$Re$的计算公式为$Re=\frac{\rho vd}{\mu}$，本题中可根据流量$\dot{m}=\rho vA$（$A$为管的横截面积，$A = \frac{\pi d^2}{4}$）推导出$v=\frac{\dot{m}}{\rho A}$，则$Re=\frac{\dot{m}d}{\mu A}=\frac{4\dot{m}}{\pi d\mu}$。
   本题未给出动力粘度$\mu$，但已知$Re = 50900$，由于$Re\gt{}4000$，所以流体流动属于湍流。
4. 计算努塞尔数：
   对于湍流，努塞尔数$Nu$可由经验公式$Nu = 0.023 \times Re^{0.8} \times Pr^{0.4}$计算。
   将$Re = 50900$，$Pr = 5.42$代入可得：
   $Nu = 0.023 \times 50900^{0.8} \times 5.42^{0.4}\approx 97.05$
5. 计算对流换热系数：
   对流换热系数$h$与努塞尔数$Nu$的关系为$h = \frac{Nu \cdot k}{d}$。
   将$Nu = 97.05$，$k = 0.613 \, \text{W/(m·K)}$，$d = 0.025 \, \text{m}$代入可得：
   $h = \frac{97.05 \times 0.613}{0.025}\approx 2380 \, \text{W/(m}^2 \cdot \text{K)}$
6. 计算总热量：
   根据热量计算公式$q = \dot{m} c_p (T_{out} - T_{in})$。
   已知$\dot{m}=0.8 \, \text{kg/s}$，$c_p = 4178 \, \text{J/(kg·K)}$，$T_{in}=20^{\circ}C$，$T_{out}=40^{\circ}C$，代入可得：
   $q = 0.8\times 4178\times(40 - 20)= 66848 \, \text{W}$
7. 计算所需管长：
   根据热平衡方程$q = h A (T_s - T_m)$，其中$A=\pi dL$（$L$为管长），则$q = h \pi d L (T_s - T_m)$，可推导出$L = \frac{q}{h \pi d (T_s - T_m)}$。
   已知$q = 66848 \, \text{W}$，$h = 2380 \, \text{W/(m}^2 \cdot \text{K)}$，$d = 0.025 \, \text{m}$，$T_s = 90^{\circ}C$，$T_m = 30^{\circ}C$，代入可得：
   $L = \frac{66848}{2380 \times \pi \times 0.025 \times (90 - 30)}\approx 6 \, \text{m}$