5．在一棵度为 4 的树 T 中，若有 20 个度为 4 的结点，10 个度为 3 的结点，1 个度为 2 的结点，10 个度为 1 的结点，则树 T 的叶结点个数是（）。A. 41B. 82C. 113D. 122

本题考查树的叶子节点数计算，核心在于利用树的度数分布推导叶子节点数。关键点如下：

1. 树的性质：树中所有节点的度数之和等于边数加1。
2. 推广公式：叶子节点数 $N_0$ 可通过非叶子节点的度数关系计算，公式为：
   $N_0 = 1 + \sum (\text{度数} - 1) \times \text{该度数的节点数}$
   其中，1 是根节点的度数，其他项为非叶子节点的度数贡献。

公式推导

1. 根节点的度数：假设根节点的度数为 $d$，则公式中的 $1$ 对应根节点的度数。
2. 非叶子节点的贡献：每个度数为 $k$ 的非叶子节点贡献 $(k-1)$ 个叶子节点。

代入数据

• 根节点的度数 $d = 1$（隐含在题目中度为1的节点中）。
• 度为2的节点数：$1$，贡献 $1 \times (2-1) = 1$。
• 度为3的节点数：$10$，贡献 $10 \times (3-1) = 20$。
• 度为4的节点数：$20$，贡献 $20 \times (4-1) = 60$。
• 度为1的非根节点数：$10 - 1 = 9$，贡献 $9 \times (1-1) = 0$。

计算总和

$N_0 = 1 + 1 + 20 + 60 + 0 = 82$