题目
10-1 已知应力状态如题 10-1 图所示,图中应力单位皆为MPa,试用解析法求:(1)指-|||-定截面上的应力;(2)主应力大小,主平面方位,并画出主单元体;(3)最大切应力(应力单位-|||-为MPa)。 50 30-|||-20 30°-|||-50 30 30 20-|||-30°-|||-20 20-|||-(a) (b) (c)-|||-50 20-|||-10 50-|||-20°-|||-20-|||-60 30 45-|||-(d) (e) (f)-|||-题 10-1 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算指定截面上的应力
对于给定的应力状态，我们首先需要计算指定截面上的正应力和切应力。这可以通过应力变换公式来完成。对于一个平面应力状态，正应力和切应力的变换公式如下：
\[
\sigma_{\theta} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)
\]
\[
\tau_{\theta} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)
\]
其中，$\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 是主应力，$\tau_{xy}$ 是切应力，$\theta$ 是指定截面与主应力方向的夹角。
步骤 2：计算主应力和主平面方位
主应力可以通过求解应力圆方程来获得。应力圆方程为：
\[
(\sigma - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2})^2 + \tau^2 = (\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2
\]
主应力是应力圆与横轴的交点，主平面方位可以通过求解切应力为零的条件来获得。主平面方位角$\alpha_0$可以通过以下公式计算：
\[
\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
\]
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过应力圆的半径来计算，其值为：
\[
\tau_{max} = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}
\]
对于给定的应力状态，我们首先需要计算指定截面上的正应力和切应力。这可以通过应力变换公式来完成。对于一个平面应力状态，正应力和切应力的变换公式如下：
\[
\sigma_{\theta} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)
\]
\[
\tau_{\theta} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)
\]
其中，$\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 是主应力，$\tau_{xy}$ 是切应力，$\theta$ 是指定截面与主应力方向的夹角。
步骤 2：计算主应力和主平面方位
主应力可以通过求解应力圆方程来获得。应力圆方程为：
\[
(\sigma - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2})^2 + \tau^2 = (\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2
\]
主应力是应力圆与横轴的交点，主平面方位可以通过求解切应力为零的条件来获得。主平面方位角$\alpha_0$可以通过以下公式计算：
\[
\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
\]
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过应力圆的半径来计算，其值为：
\[
\tau_{max} = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}
\]