一高压管末端接喷嘴,如下图所示,一直喷嘴出口直径为20cm,管道直径为40cm,水在管中流量为0.5m3/s,求管嘴对水流的作用力。

考查要点：本题综合考查流体力学中的连续性方程、伯努利方程（能量方程）和动量方程的应用，重点在于理解流速、压力与作用力之间的关系。

解题核心思路：

1. 连续性方程：利用流量恒定，计算管道和喷嘴处的流速。
2. 伯努利方程：通过能量守恒计算管道内的压力。
3. 动量方程：结合动量变化率求解喷嘴对水流的作用力。

破题关键点：

• 单位统一：直径需转换为米，计算面积时注意半径。
• 方向分析：动量方程中水流方向与作用力方向的关系需明确。

1. 应用连续性方程求流速

流量 $Q = 0.5 \, \text{m}^3/\text{s}$，管道直径 $D_1 = 40 \, \text{cm} = 0.4 \, \text{m}$，喷嘴出口直径 $D_2 = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$。

管道横截面积 $A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0.4)^2}{4} = 0.1257 \, \text{m}^2$，喷嘴出口面积 $A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (0.2)^2}{4} = 0.0314 \, \text{m}^2$。

流速计算：
$v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.5}{0.1257} \approx 3.98 \, \text{m/s}, \quad v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.5}{0.0314} \approx 15.92 \, \text{m/s}$

2. 应用伯努利方程求压力

以管道（截面1）和喷嘴出口（截面2）为基准，列伯努利方程（忽略高度差和摩擦损失）：
$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g}$
已知 $p_2 = 0$，代入数据：
$\frac{p_1}{1000 \times 9.8} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2 \times 9.8}$
计算得：
$p_1 = 1000 \times \frac{(15.92)^2 - (3.98)^2}{2} \approx 125.5 \, \text{KN/m}^2$

3. 应用动量方程求作用力

水流动量变化率为：
$F = \rho Q (v_2 - v_1)$
代入 $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$，$Q = 0.5 \, \text{m}^3/\text{s}$，$v_2 - v_1 \approx 11.94 \, \text{m/s}$：
$F = 1000 \times 0.5 \times 11.94 \approx 5970 \, \text{N} \quad (\text{即} \, 5.97 \, \text{kN})$