某一级反应,反应进行 10 min 后,反应物反应掉 30%。问反应掉 50%需多少时间?

考查要点：本题主要考查一级反应速率方程的积分式应用，需要根据已知的反应进度求出速率常数，再计算目标反应进度所需的时间。

解题核心思路：

1. 利用一级反应的积分式 $\ln \frac{[A]_0}{[A]} = kt$，通过已知的反应进度（30%反应掉）求出速率常数 $k$。
2. 代入目标反应进度（50%反应掉），结合求得的 $k$ 值，计算所需时间 $t$。

破题关键点：

• 正确理解反应进度与浓度的关系：反应掉 $x\%$ 时，剩余浓度为初始浓度的 $(1 - x/100)$ 倍。
• 灵活运用对数运算：通过两次应用积分式建立方程，最终解出时间。

步骤1：根据已知条件求速率常数 $k$

已知反应进行 $10$ 分钟后，反应物反应掉 $30\%$，即剩余浓度为初始浓度的 $70\%$，即：
$\frac{[A]}{[A]_0} = 0.7$

代入一级反应积分式 $\ln \frac{[A]_0}{[A]} = kt$：
$\ln \frac{1}{0.7} = k \cdot 10$

计算得：
$k = \frac{\ln \frac{1}{0.7}}{10} \approx \frac{0.3567}{10} \approx 0.03567 \, \text{min}^{-1}$

步骤2：计算反应掉 $50\%$ 所需时间

当反应掉 $50\%$ 时，剩余浓度为初始浓度的 $50\%$，即：
$\frac{[A]}{[A]_0} = 0.5$

代入积分式：
$\ln \frac{1}{0.5} = k \cdot t$

解得：
$t = \frac{\ln 2}{k} \approx \frac{0.693}{0.03567} \approx 19.4 \, \text{分钟}$