[例题 10-4] 一块厚200mm的大钢板,钢材的密度 rho =7790kg/(m)^3, 比热容 _(p)=470J/-|||-(kg·K),热导率为 .2W/(mcdot R), 钢板的初始温度为20℃,放入1000℃的加热炉中-|||-加热,表面传热系数 =300W/((m)^2cdot R) 试求加热40min后的钢板中心温度。

考查要点：本题主要考查第三类边界条件下一维非稳态导热问题的求解方法，涉及傅里叶数、毕渥数的计算，以及利用图表或经验公式确定温度分布。

解题核心思路：

1. 确定问题类型：钢板在加热炉中受热，属于第三类边界条件（对流换热）的一维非稳态导热。
2. 计算关键参数：
   • 热扩散率 $a$：反映材料导热能力与热惯性的比值。
   • 傅里叶数 $F_0$：无因次时间，表征非稳态过程的进展程度。
   • 毕渥数 $Bi$：表征对流换热与导热的相对强弱。
3. 查图或公式求解：通过 $Bi$ 和 $F_0$ 查图或代入经验公式 $(10-48)$，得到中心温度与表面温度的比值，最终计算中心温度。

破题关键点：

• 正确选取半厚度 $s = \frac{\text{厚度}}{2}$。
• 单位统一：时间转换为秒，厚度转换为米。
• 公式应用：明确 $\frac{\theta_m}{\theta_0}$ 的定义，正确代入初始温度、表面温度计算中心温度。

1. 参数计算

热扩散率 $a$

$a = \frac{\lambda}{\rho c_p} = \frac{43.2}{7790 \times 470} \approx 1.18 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}$

傅里叶数 $F_0$

$F_0 = \frac{a t}{s^2} = \frac{1.18 \times 10^{-5} \times 40 \times 60}{0.1^2} \approx 2.83$

毕渥数 $Bi$

$Bi = \frac{h d}{\lambda} = \frac{300 \times 0.1}{43.2} \approx 0.463$

2. 查图或公式求解

• 查图10.23：根据 $Bi = 0.463$ 和 $F_0 = 2.83$，查得 $\frac{\theta_m}{\theta_0} = 0.32$。
• 经验公式验证（式 $(10-48)$）：
  $\frac{\theta_m}{\theta_0} = \frac{2 \sin \theta_1}{\theta_1 + \sin \theta_1 \cos \theta_1} e^{-\theta_1^2 F_0}$
  其中 $\theta_1$ 需通过迭代确定，但查图更高效。

3. 中心温度计算

根据 $\frac{\theta_m}{\theta_0} = 0.32$，定义：
$\theta_m = t_m - t_0, \quad \theta_0 = t_0 - t_{00}$
代入数据：
$t_m = 0.32 \times (t_0 - t_{00}) + t_{00} = 0.32 \times (1000 - 20) + 20 = 686 \, \text{℃}$