题目
7.40图示工字型截面的悬臂梁,长为4m。受均布载荷 q=30kN/m 和集中力 '=-|||-400kN的同时作用。该梁是由三块矩形截面的板经焊接而成,截面的尺寸如图所示。若许用-|||-应力 [ alpha ] =160MPa 。试用第四强度理论校核该梁的强度。-|||-F 时-|||-1m ↑10-|||-q-|||-4m-|||-240-|||-题7.40图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梁的弯矩和剪力
首先，计算梁在均布载荷和集中力作用下的弯矩和剪力。均布载荷 q=30kN/m 作用在梁的全长上，集中力 F'=400kN 作用在距离梁自由端 1m 处。梁的长度为 4m。
- 均布载荷产生的弯矩为 $M_{q} = \frac{1}{2}qL^2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 4^2 = 240kN \cdot m$。
- 集中力产生的弯矩为 $M_{F'} = F' \times (L-1) = 400 \times (4-1) = 1200kN \cdot m$。
- 总弯矩为 $M_{total} = M_{q} + M_{F'} = 240 + 1200 = 1440kN \cdot m$。
- 剪力为 $V = F' + qL = 400 + 30 \times 4 = 520kN$。
步骤 2：计算截面的几何性质
工字型截面由三块矩形截面的板焊接而成，截面尺寸如图所示。计算截面的惯性矩 $I$ 和截面模量 $W$。
- 假设截面的尺寸为：高度 $h=240mm$，宽度 $b=10mm$，腹板厚度 $t=10mm$。
- 截面的惯性矩 $I = \frac{1}{12}bh^3 - \frac{1}{12}b(h-2t)^3 = \frac{1}{12} \times 10 \times 240^3 - \frac{1}{12} \times 10 \times (240-2 \times 10)^3 = 11520000mm^4$。
- 截面模量 $W = \frac{I}{y} = \frac{11520000}{120} = 96000mm^3$。
步骤 3：计算最大应力
根据第四强度理论，最大应力为 $\sigma_{max} = \sqrt{\sigma_{x}^2 + \sigma_{y}^2 + \tau_{xy}^2}$，其中 $\sigma_{x}$ 为正应力，$\sigma_{y}$ 为剪应力，$\tau_{xy}$ 为剪应力。
- 正应力 $\sigma_{x} = \frac{M_{total}}{W} = \frac{1440 \times 10^6}{96000} = 150MPa$。
- 剪应力 $\sigma_{y} = \frac{V}{A} = \frac{520 \times 10^3}{10 \times 240} = 21.67MPa$。
- 剪应力 $\tau_{xy} = \frac{V}{2A} = \frac{520 \times 10^3}{2 \times 10 \times 240} = 10.83MPa$。
- 最大应力 $\sigma_{max} = \sqrt{150^2 + 21.67^2 + 10.83^2} = 152.58MPa$。
步骤 4：校核梁的强度
根据许用应力 $[ \alpha ] =160MPa$，校核梁的强度。
- 计算得到的最大应力 $\sigma_{max} = 152.58MPa$ 小于许用应力 $[ \alpha ] =160MPa$，因此梁的强度满足要求。
首先，计算梁在均布载荷和集中力作用下的弯矩和剪力。均布载荷 q=30kN/m 作用在梁的全长上，集中力 F'=400kN 作用在距离梁自由端 1m 处。梁的长度为 4m。
- 均布载荷产生的弯矩为 $M_{q} = \frac{1}{2}qL^2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 4^2 = 240kN \cdot m$。
- 集中力产生的弯矩为 $M_{F'} = F' \times (L-1) = 400 \times (4-1) = 1200kN \cdot m$。
- 总弯矩为 $M_{total} = M_{q} + M_{F'} = 240 + 1200 = 1440kN \cdot m$。
- 剪力为 $V = F' + qL = 400 + 30 \times 4 = 520kN$。
步骤 2：计算截面的几何性质
工字型截面由三块矩形截面的板焊接而成，截面尺寸如图所示。计算截面的惯性矩 $I$ 和截面模量 $W$。
- 假设截面的尺寸为：高度 $h=240mm$，宽度 $b=10mm$，腹板厚度 $t=10mm$。
- 截面的惯性矩 $I = \frac{1}{12}bh^3 - \frac{1}{12}b(h-2t)^3 = \frac{1}{12} \times 10 \times 240^3 - \frac{1}{12} \times 10 \times (240-2 \times 10)^3 = 11520000mm^4$。
- 截面模量 $W = \frac{I}{y} = \frac{11520000}{120} = 96000mm^3$。
步骤 3：计算最大应力
根据第四强度理论，最大应力为 $\sigma_{max} = \sqrt{\sigma_{x}^2 + \sigma_{y}^2 + \tau_{xy}^2}$，其中 $\sigma_{x}$ 为正应力，$\sigma_{y}$ 为剪应力，$\tau_{xy}$ 为剪应力。
- 正应力 $\sigma_{x} = \frac{M_{total}}{W} = \frac{1440 \times 10^6}{96000} = 150MPa$。
- 剪应力 $\sigma_{y} = \frac{V}{A} = \frac{520 \times 10^3}{10 \times 240} = 21.67MPa$。
- 剪应力 $\tau_{xy} = \frac{V}{2A} = \frac{520 \times 10^3}{2 \times 10 \times 240} = 10.83MPa$。
- 最大应力 $\sigma_{max} = \sqrt{150^2 + 21.67^2 + 10.83^2} = 152.58MPa$。
步骤 4：校核梁的强度
根据许用应力 $[ \alpha ] =160MPa$，校核梁的强度。
- 计算得到的最大应力 $\sigma_{max} = 152.58MPa$ 小于许用应力 $[ \alpha ] =160MPa$，因此梁的强度满足要求。