类氢离子基态在 r = a0 的单位厚度的球壳内电子出 现的几率最大。

考查要点：本题主要考查对类氢离子基态电子径向分布函数的理解，以及如何确定电子出现概率最大的位置。

解题核心思路：

1. 径向分布函数 $P(r) = 4\pi r^2 |R(r)|^2$ 描述单位厚度球壳内电子出现的概率。
2. 对 $P(r)$ 求导并求极值，找到其极大值点，即可确定电子出现概率最大的位置。

破题关键点：

• 基态类氢离子的径向波函数形式为 $R(r) = \frac{1}{\sqrt{a_0^3}} e^{-r/a_0}$，代入 $P(r)$ 后化简。
• 求导分析：通过求导 $P(r)$ 并解方程 $P'(r) = 0$，确定极大值点为 $r = a_0$。

步骤1：写出径向分布函数

类氢离子基态的径向波函数为：
$R(r) = \frac{1}{\sqrt{a_0^3}} e^{-r/a_0}$
径向分布函数为：
$P(r) = 4\pi r^2 |R(r)|^2 = \frac{4\pi}{a_0^3} r^2 e^{-2r/a_0}$

步骤2：求导找极值点

令 $f(r) = r^2 e^{-2r/a_0}$（常数项不影响极值位置），求导得：
$f'(r) = 2r e^{-2r/a_0} - \frac{2r^2}{a_0} e^{-2r/a_0} = e^{-2r/a_0} \left( 2r - \frac{2r^2}{a_0} \right)$
令 $f'(r) = 0$，解得：
$2r - \frac{2r^2}{a_0} = 0 \implies r = 0 \ \text{或} \ r = a_0$
显然，$r = 0$ 是极小值点，$r = a_0$ 是极大值点。

步骤3：结论

$P(r)$ 在 $r = a_0$ 处取得极大值，说明单位厚度球壳内电子出现概率最大。