若 A 与 B 相互独立,则下面不相互独立的事件是()A. A 与 overline(A)B. A 与 BC. overline(A) 与 BD. overline(A) 与 overline(B)

答案：A

核心分析步骤：

• 选项A：$A$ 与 $\overline{A}$
  由定义，$A \cap \overline{A} = \emptyset$，故 $P(A \cap \overline{A}) = 0$。
  而 $P(A) \cdot P(\overline{A}) = P(A)(1 - P(A))$。
  当 $0 < P(A) < 1$ 时，该乘积大于0，不等于0，因此不满足独立性条件。
  → 不独立（一般情况成立，题目未限定 $P(A)=0$ 或 $1$）。

• 选项B：$A$ 与 $\overline{B}$
  利用独立性推导：
  $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)P(\overline{B})$。
  → 独立。

• 选项C：$\overline{A}$ 与 $B$
  同理：
  $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = P(B) - P(A)P(B) = P(B)P(\overline{A})$。
  → 独立。

• 选项D：$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$
  $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)]$，
  而 $P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B))$，两者相等。
  → 独立。

最终结论：
唯一不相互独立的事件对是选项 A。