例题 3-6 例题 3-1 中的传动轴(例题 3-1 图a)是由45号钢制成的空-|||-心圆截面轴,其内、外直径之比 alpha =dfrac (1)(2) 。钢的许用切应力[t]为40MPa,切变模-|||-量G为80GPa。许可单位长度扭转角[φ]]为 .3(m)/m 。试按强度条件和刚度-|||-条件选择轴的直径。-|||-例题 3-1 一传动轴如图a所示,其转速 n=300r/min ,主动轮输入的功率-|||-_(1)=500kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2-|||-=150kW _(3)=150kW 及 _(4)=200kW 。试作轴的扭矩图。-|||-解:首先计算外力偶矩(图a)。-|||-_(1)=(9.55times (10)^3times dfrac (500)(300))Ncdot m=15.9times (10)^3Ncdot m-|||-=15.9kNcdot m-|||-._(2)=(M)_(3)= 9.55times {10)^3times dfrac (150)(300)} ... m=4.78times (10)^3Ncdot m-|||-=4.78kNcdot m-|||-M4= =|9.55×10^3×200/300)N·m=6.37×10^3N·m-|||-=6.37kNcdot m-|||-然后,由轴的计算简图(图b),计算各段轴内的扭矩。先计算CA段内任一-|||-横截面 -20 图b)上的扭矩。沿横截面 2-2 将轴截开,并研究左边一段轴的平-|||-衡,假设T2为正值扭矩,由平衡方程-|||-sum (M)_(x)=0 , _(2)+(M)_(3)+(T)_(2)=0-|||-得-|||-_(2)=-(M)_(2)-(M)_(1)=-9.56kNcdot m-|||-结果为负号,说明T2为负值扭矩(图c)。-|||-同理,在BC段内 ._(1)=-(M)_(2)=-4.78kNcdot m-|||-M2 PP2 M3 P M4 PP-|||-M P1n-|||-(a) 2-|||-2 A-|||-M2 1 M3 2 M1 3 M4-|||-(b) C 2 A 3 D-|||-B-|||-M2 M3 2T2-|||-(c)-|||-B C 2 6.37-|||-(d)-|||-4.78-|||-T图(kN·m)-|||-9.56-|||-例题 3-1 图-|||-在AD段内 ._(3)=(M)_(4)=6.37kNcdot m-|||-根据这些扭矩即可作出扭矩图(图d)。从图可见,最大扭矩Tmax发生在CA段-|||-内,其值为9.56kN·m。

本题主要考察空心圆轴的强度条件和刚度条件在直径选择中的中的应用，需结合例题3-1中已求得的最大扭矩$T_{\text{max}}=9.565\,\text{kN}\cdot\text{m}$（原题答案中用$9.56\,\text{kN}\cdot\text{m}$）进行计算。

1. 强度条件计算

强度条件要求轴内最大切应力$\tau_{\text{max}}\leq[\tau]$，公式为：
$\tau_{\text{max}}=\frac{T_{\text{max}}}{W_p}\leq[\tau]$
空心圆轴抗扭截面系数$W_p=\frac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4)$（$\alpha=\frac{d}{D}=\frac{1}{2}$），代入得：
$W_p=\frac{\pi D^3}{16}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)=\frac{15\pi D^3}{128}$
代入强度条件：
$\frac{T_{\text{max}}}{\frac{15\pi D^3}{128}}\leq[\tau]\implies D\geq\sqrt[3]{\frac{128T_{\text{max}}}{5\pi[\tau]}}$
代入数据$T_{\text{max}}=9.56\times10^3\,\text{N}\cdot\text{m}$，$[\tau]=40\,\text{MPa}=40\times10^8\,\text{Pa}$：
$D\geq\sqrt[3]{\frac{128\times9.56\times10^3}{5\pi\times40\times10^6}}\approx0.109\,\text{m}=109\,\text{mm}$

2. 刚度条件计算

刚度条件要求单位长度扭转角$\phi\leq[\phi]$，公式为：
$\phi=\frac{T_{\text{max}}}{GI_p}\times\frac{180}{\pi}\leq[\phi]$
空心圆轴极惯性矩$I_p=\frac{\pi D^4}{32}(1-\alpha^4)=\frac{15\pi D^4}{512}$，代入得：
$\frac{T_{\text{max}}}{G\times\frac{15\pi D^4}{512}}}\times\frac{180}{\pi}\leq[\phi]$
整理得：
$D\geq\sqrt[4]{\frac{32T_{\text{max}}\times180}{1-\alpha^4)}{G\pi[\phi]}}$
代入数据$[\phi]=0.3\,\text{(°)/m)}$，$G=80\,\text{GPa}=80\times10^9\,\text{Pa}$：
$D\geq\sqrt[4]{\frac{32\times9.56\times10^3\times180\times15/16}{80\times10^9\times\pi\times0.3}}\approx0.1255\,\text{m}=125.5\,\text{mm}$

3. 最终直径选择

需同时满足强度和刚度条件，取较大值$D=125.5\,\text{mm}$，内径$d=\alpha D=62.75\,\text{mm}$。