曲面的参数变换不影响曲面侧的选取。A. 对B. 错

本题考查曲面侧的选取与参数变换的关系。解题思路是明确曲面侧的定义以及参数变换的性质，通过分析参数变换对曲面法向量方向的影响来判断是否影响曲面侧的选取。

1. 明确曲面侧的定义

曲面的侧是通过其法向量的方向来确定的。对于一个有向曲面，其法向量的指向决定了曲面的侧，例如法向量指向曲面的一侧为正侧，另一侧则为负侧。

2. 考虑参数变换

设曲面$S$的参数方程为$\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$，$(u,v)\in D$，其中$D$是参数$(u,v)$的取值区域。曲面的法向量可以通过计算$\vec{r}_u\times\vec{r}_v$得到，其中$\vec{r}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}\right)$，$\vec{r}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v}\right)$。

现在进行参数变换，设$u = u(s,t)$，$v = v(s,t)$，则曲面$S$关于新参数$(s,t)$的参数方程为$\vec{R}(s,t)=\vec{r}(u(s,t),v(s,t))$。

3. 计算新参数下的法向量

根据复合函数求导法则，$\vec{R}_s=\vec{r}_u\frac{\partial u}{\partial s}+\vec{r}_v\frac{\partial v}{\partial s}$，$\vec{R}_t=\vec{r}_u\frac{\partial u}{\partial t}+\vec{r}_v\frac{\partial v}{\partial t}$。

新的法向量$\vec{N}=\vec{R}_s\times\vec{R}_t=\left(\vec{r}_u\frac{\partial u}{\partial s}+\vec{r}_v\frac{\partial v}{\partial s}\right)\times\left(\vec{r}_u\frac{\partial u}{\partial t}+\vec{r}_v\frac{\partial v}{\partial t}\right)$。

根据向量叉乘的分配律展开可得：
$\vec{N}=\vec{r}_u\times\vec{r}_v\left(\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial v}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial s}\right)$

令$J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial s}&\frac{\partial u}{\partial t}\\\frac{\partial v}{\partial s}&\frac{\partial v}{\partial t}\end{vmatrix}=\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial v}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial s}$，则$\vec{N}=J(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)$。

4. 分析法向量方向的变化

当参数变换是正则变换时，即$J\neq0$，$\vec{N}$与$\vec{r}_u\times\vec{r}_v$是共线向量。这意味着它们的方向要么相同（当$J>0$时），要么相反（当$J < 0$时）。

也就是说，参数变换只是改变了法向量的长度（由$\vert J\vert$决定），而不会改变法向量的方向（在共线的意义下）。由于曲面的侧是由法向量的方向决定的，所以曲面的参数变换不影响曲面侧的选取。