如果圆筒壁外表面温度态比内表面温度t高,请定性绘制出壁内的温度分布曲线

考查要点：本题主要考查圆筒壁一维稳态径向导热的温度分布规律，涉及导热微分方程的求解及温度梯度、曲率的分析。

解题核心思路：

1. 建立径向导热微分方程：在无内热源、热物性为常数的条件下，圆筒壁的稳态温度分布满足 $\frac{d}{dr}\left( r \frac{dT}{dr} \right) = 0$。
2. 积分求解通解：通过两次积分得到通解形式，结合边界条件确定积分常数。
3. 分析温度梯度与曲率：通过一阶导数判断温度变化趋势，二阶导数判断曲线凹凸性。

破题关键点：

• 边界条件：内表面 $r=r_1$ 时 $T=T_1$，外表面 $r=r_2$ 时 $T=T_0$（注意题目中外表面温度更高，即 $T_0 > T_1$）。
• 对数函数特性：温度分布与 $\ln r$ 成线性关系，导致温度随半径递增且增速减慢。

建立微分方程

稳态无内热源的径向导热方程为：
$\frac{d}{dr}\left( r \frac{dT}{dr} \right) = 0$

第一次积分

分离变量并积分：
$r \frac{dT}{dr} = C_1 \quad \Rightarrow \quad dT = \frac{C_1}{r} dr$

第二次积分

积分得通解：
$T(r) = C_1 \ln r + C_2$

应用边界条件

1. 内表面：$r=r_1$ 时 $T=T_1$：
   $T_1 = C_1 \ln r_1 + C_2$
2. 外表面：$r=r_2$ 时 $T=T_0$：
   $T_0 = C_1 \ln r_2 + C_2$

联立解得：
$C_1 = \frac{T_0 - T_1}{\ln \frac{r_2}{r_1}}, \quad C_2 = T_1 - C_1 \ln r_1$

温度分布表达式

代入通解得：
$T(r) = T_1 - (T_1 - T_0) \frac{\ln \frac{r}{r_1}}{\ln \frac{r_2}{r_1}}$

温度梯度与曲率分析

1. 一阶导数：
   $\frac{dT}{dr} = -\frac{T_1 - T_0}{\ln \frac{r_2}{r_1}} \cdot \frac{1}{r} > 0 \quad (\text{因 } T_0 > T_1)$
   说明温度随半径增大递增。
2. 二阶导数：
   $\frac{d^2T}{dr^2} = \frac{T_1 - T_0}{\ln \frac{r_2}{r_1}} \cdot \frac{1}{r^2} < 0 \quad (\text{因 } T_1 - T_0 < 0)$
   说明温度分布曲线上凸。