液体 A 与液体 B 能形成理想液态混合物，在 343 , (K) 时，1 , (mol) 纯 A 与 2 , (mol) 纯 B 形成的理想液态混合物的总蒸气压为 50.66 , (kPa)。若在液态混合物中再加入 3 , (mol) 纯 A，则液态混合物的总蒸气压为 70.93 , (kPa)。试求：(1) 纯 A 与纯 B 的饱和蒸气压；(2) 对第一种理想液态混合物，在对应的气相中 A 与 B 各自的摩尔分数。

本题主要考查理想液态混合物的蒸气压相关知识，解题的关键在于利用拉乌尔定律以及总蒸气压的计算公式来建立方程组求解纯物质的饱和蒸气压，再根据分压和总压计算气相中各组分的摩尔分数。

（1）求纯 A 与纯 B 的饱和蒸气压

设纯 A 的饱和蒸气压为 $p_A^*$，纯 B 的饱和蒸气压为 $p_B^*$。
对于理想液态混合物，根据拉乌尔定律，某一组分的分压等于该组分的摩尔分数乘以其纯物质的饱和蒸气压，即 $p_i = x_i p_i^*$，总蒸气压 $p = p_A + p_B = x_A p_A^* + x_B p_B^*$。

• 第一种情况：
  $1\ mol$ 纯 A 与 $2\ mol$ 纯 B 形成的理想液态混合物，此时 $n_A = 1\ mol$，$n_B = 2\ mol$，则 A 的摩尔分数 $x_{A1}=\frac{n_A}{n_A + n_B}=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$，B 的摩尔分数 $x_{B1}=\frac{n_B}{n_A + n_B}=\frac{2}{1 + 2}=\frac{2}{3}$。
  已知该混合物的总蒸气压 $p_1 = 50.66\ kPa$，根据总蒸气压公式可得：
  $p_1 = x_{A1} p_A^* + x_{B1} p_B^*$，即 $50.66=\frac{1}{3}p_A^*+\frac{2}{3}p_B^*$，等式两边同时乘以 3 得到 $151.98 = p_A^* + 2p_B^*$ ①。

• 第二种情况：
  在第一种混合物中再加入 $3\ mol$ 纯 A，则此时 $n_A = 1 + 3 = 4\ mol$，$n_B = 2\ mol$，A 的摩尔分数 $x_{A2}=\frac{n_A}{n_A + n_B}=\frac{4}{4 + 2}=\frac{2}{3}$，B 的摩尔分数 $x_{B2}=\frac{n_B}{n_A + n_B}=\frac{2}{4 + 2}=\frac{1}{3}$。
  已知该混合物的总蒸气压 $p_2 = 70.93\ kPa$，根据总蒸气压公式可得：
  $p_2 = x_{A2} p_A^* + x_{B2} p_B^*$，即 $70.93=\frac{2}{3}p_A^*+\frac{1}{3}p_B^*$，等式两边同时乘以 3 得到 $212.79 = 2p_A^* + p_B^*$ ②。

联立①②组成方程组 $\begin{cases}p_A^* + 2 p_B^* = 151.98 \\ 2 p_A^* + p_B^* = 212.79 \end{cases}$，
由①式可得 $p_A^* = 151.98 - 2p_B^*$，将其代入②式可得：
$2(151.98 - 2p_B^*) + p_B^* = 212.79$，
展开括号得 $303.96 - 4p_B^* + p_B^* = 212.79$，
合并同类项得 $303.96 - 3p_B^* = 212.79$，
移项得 $3p_B^* = 303.96 - 212.79 = 91.17$，
解得 $p_B^* = 30.39\ kPa$。
将 $p_B^* = 30.39\ kPa$ 代入 $p_A^* = 151.98 - 2p_B^*$ 可得：
$p_A^* = 151.98 - 2\times30.39 = 151.98 - 60.78 = 91.20\ kPa$。

（2）求第一种理想液态混合物在对应的气相中 A 与 B 各自的摩尔分数

对于第一种混合物，$x_A = \frac{1}{3}$，$x_B = \frac{2}{3}$，$p_A^* = 91.20\ kPa$，$p_B^* = 30.39\ kPa$。
根据拉乌尔定律，A 的分压 $p_A = x_A p_A^*=\frac{1}{3}\times91.20 = 30.40\ kPa$，
B 的分压 $p_B = x_B p_B^*=\frac{2}{3}\times30.39 = 20.26\ kPa$。
根据分压定律，气相中某一组分的摩尔分数等于该组分的分压除以总压，即 $y_i=\frac{p_i}{p}$。
已知总压 $p = 50.66\ kPa$，则 A 的摩尔分数 $y_A = \frac{p_A}{p}=\frac{30.40}{50.66} = 0.60$，
B 的摩尔分数 $y_B = \frac{p_B}{p}=\frac{20.26}{50.66} = 0.40$。