题目
一平板闸门宽 b 为 2 m,当通过流量 Q为 8m3/s 时闸前水深 h 为 4 m,闸孔后收缩断面水深 hC为 0.5m,求作用于平板闸门上的动水总压力(不计摩擦力) 。
一平板闸门宽 b 为 2 m,当通过流量 Q为 8m
3/s 时闸前水深 h 为 4 m,闸孔后收缩断面水深 h
C
为 0.5m,求作用于平板闸门上的动水总压力(不计摩擦力) 。
题目解答
答案
解: 此题为用动量方程求解作用力。因为流量未知,涉及到连续性方程、能量方程、动
量方程这三大方程的联合应用。
(1)取控制面(脱离体) (上游过流断面与 C-C 断面之间)
(2)画出相对压强分布图,全面并分析、计算外力(上游过流断面压力 P1 ，C-C断面压
力 P2 ,重力沿水流方向的分力为 0,设平板闸门对水的动水总压力为 R ,方向向左。
(3)因为流量未知先列能量方程求流速。
（4）列出的能量方程由 | v1,v 两个未知量，用连续性方程消掉 1 个未知量。求出流量、 2 |
流速。
(5)列动量方程求解作用力。
答案:作用于平板闸门上的动水总压力 R= 93.5 kN , 方向向右。
解析
步骤 1：确定控制面和外力
取控制面为上游过流断面与 C-C 断面之间。分析外力，包括上游过流断面压力 P1，C-C断面压力 P2，重力沿水流方向的分力为 0，设平板闸门对水的动水总压力为 R，方向向左。
步骤 2：计算流速
根据能量方程，计算流速。能量方程为：
\[ \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + \frac{p_1}{\rho g} = \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + h_f \]
其中，\(v_1\) 为上游流速，\(v_2\) 为下游流速，\(z_1\) 和 \(z_2\) 分别为上游和下游的水位高度，\(p_1\) 和 \(p_2\) 分别为上游和下游的相对压强，\(\rho\) 为水的密度，\(g\) 为重力加速度，\(h_f\) 为能量损失。由于不计摩擦力，\(h_f = 0\)。根据题目条件，\(z_1 = h = 4m\)，\(z_2 = h_c = 0.5m\)，\(p_1 = p_2 = 0\)（相对压强），代入能量方程，得到：
\[ \frac{v_1^2}{2g} + 4 = \frac{v_2^2}{2g} + 0.5 \]
根据连续性方程，\(Q = v_1 \cdot A_1 = v_2 \cdot A_2\)，其中 \(A_1\) 和 \(A_2\) 分别为上游和下游的过流断面面积。由于闸门宽度 \(b = 2m\)，\(A_1 = b \cdot h = 2 \cdot 4 = 8m^2\)，\(A_2 = b \cdot h_c = 2 \cdot 0.5 = 1m^2\)。代入连续性方程，得到：
\[ v_1 \cdot 8 = v_2 \cdot 1 \]
\[ v_2 = 8v_1 \]
将 \(v_2 = 8v_1\) 代入能量方程，得到：
\[ \frac{v_1^2}{2g} + 4 = \frac{(8v_1)^2}{2g} + 0.5 \]
\[ \frac{v_1^2}{2g} + 4 = \frac{64v_1^2}{2g} + 0.5 \]
\[ 4 - 0.5 = \frac{64v_1^2}{2g} - \frac{v_1^2}{2g} \]
\[ 3.5 = \frac{63v_1^2}{2g} \]
\[ v_1^2 = \frac{3.5 \cdot 2g}{63} \]
\[ v_1 = \sqrt{\frac{7g}{63}} \]
\[ v_1 = \sqrt{\frac{g}{9}} \]
\[ v_1 = \frac{\sqrt{g}}{3} \]
\[ v_1 = \frac{\sqrt{9.81}}{3} \]
\[ v_1 = \frac{3.13}{3} \]
\[ v_1 = 1.043m/s \]
\[ v_2 = 8v_1 = 8 \cdot 1.043 = 8.344m/s \]
步骤 3：计算动水总压力
根据动量方程，计算作用于平板闸门上的动水总压力。动量方程为：
\[ \sum F = \rho Q (v_2 - v_1) \]
其中，\(\sum F\) 为作用于平板闸门上的动水总压力，\(\rho\) 为水的密度，\(Q\) 为流量，\(v_1\) 和 \(v_2\) 分别为上游和下游的流速。代入已知条件，得到：
\[ R = \rho Q (v_2 - v_1) \]
\[ R = 1000 \cdot 8 \cdot (8.344 - 1.043) \]
\[ R = 8000 \cdot 7.301 \]
\[ R = 58408N \]
\[ R = 58.408kN \]
取控制面为上游过流断面与 C-C 断面之间。分析外力，包括上游过流断面压力 P1，C-C断面压力 P2，重力沿水流方向的分力为 0，设平板闸门对水的动水总压力为 R，方向向左。
步骤 2：计算流速
根据能量方程，计算流速。能量方程为：
\[ \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + \frac{p_1}{\rho g} = \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + h_f \]
其中，\(v_1\) 为上游流速，\(v_2\) 为下游流速，\(z_1\) 和 \(z_2\) 分别为上游和下游的水位高度，\(p_1\) 和 \(p_2\) 分别为上游和下游的相对压强，\(\rho\) 为水的密度，\(g\) 为重力加速度，\(h_f\) 为能量损失。由于不计摩擦力，\(h_f = 0\)。根据题目条件，\(z_1 = h = 4m\)，\(z_2 = h_c = 0.5m\)，\(p_1 = p_2 = 0\)（相对压强），代入能量方程，得到：
\[ \frac{v_1^2}{2g} + 4 = \frac{v_2^2}{2g} + 0.5 \]
根据连续性方程，\(Q = v_1 \cdot A_1 = v_2 \cdot A_2\)，其中 \(A_1\) 和 \(A_2\) 分别为上游和下游的过流断面面积。由于闸门宽度 \(b = 2m\)，\(A_1 = b \cdot h = 2 \cdot 4 = 8m^2\)，\(A_2 = b \cdot h_c = 2 \cdot 0.5 = 1m^2\)。代入连续性方程，得到：
\[ v_1 \cdot 8 = v_2 \cdot 1 \]
\[ v_2 = 8v_1 \]
将 \(v_2 = 8v_1\) 代入能量方程，得到：
\[ \frac{v_1^2}{2g} + 4 = \frac{(8v_1)^2}{2g} + 0.5 \]
\[ \frac{v_1^2}{2g} + 4 = \frac{64v_1^2}{2g} + 0.5 \]
\[ 4 - 0.5 = \frac{64v_1^2}{2g} - \frac{v_1^2}{2g} \]
\[ 3.5 = \frac{63v_1^2}{2g} \]
\[ v_1^2 = \frac{3.5 \cdot 2g}{63} \]
\[ v_1 = \sqrt{\frac{7g}{63}} \]
\[ v_1 = \sqrt{\frac{g}{9}} \]
\[ v_1 = \frac{\sqrt{g}}{3} \]
\[ v_1 = \frac{\sqrt{9.81}}{3} \]
\[ v_1 = \frac{3.13}{3} \]
\[ v_1 = 1.043m/s \]
\[ v_2 = 8v_1 = 8 \cdot 1.043 = 8.344m/s \]
步骤 3：计算动水总压力
根据动量方程，计算作用于平板闸门上的动水总压力。动量方程为：
\[ \sum F = \rho Q (v_2 - v_1) \]
其中，\(\sum F\) 为作用于平板闸门上的动水总压力，\(\rho\) 为水的密度，\(Q\) 为流量，\(v_1\) 和 \(v_2\) 分别为上游和下游的流速。代入已知条件，得到：
\[ R = \rho Q (v_2 - v_1) \]
\[ R = 1000 \cdot 8 \cdot (8.344 - 1.043) \]
\[ R = 8000 \cdot 7.301 \]
\[ R = 58408N \]
\[ R = 58.408kN \]