题目

一个量程为 10(kN) 的应变电阻式力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径 20(mm)，内径 18(mm)，在其表面粘贴 8 个电阻应变片，4 个沿轴向粘贴，4 个沿周向粘贴，电阻应变片的电阻值均为 120Omega，灵敏度为 2.0，泊松比为 0.3，材料弹性模量为 2.1 times 10^11 (N/m)^2，要求：(1) 绘出弹性元件贴片位置及全桥电路；(2) 计算传感器在满量程时，各电阻应变片的阻值变化；(3) 当桥路的供电电压为 10(V) 时，计算桥路的输出电压。

一个量程为 $10\text{kN}$ 的应变电阻式力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径 $20\text{mm}$，内径 $18\text{mm}$，在其表面粘贴 $8$ 个电阻应变片，$4$ 个沿轴向粘贴，$4$ 个沿周向粘贴，电阻应变片的电阻值均为 $120\Omega$，灵敏度为 $2.0$，泊松比为 $0.3$，材料弹性模量为 $2.1 \times 10^{11} \text{N/m}^2$，要求：

(1) 绘出弹性元件贴片位置及全桥电路；

(2) 计算传感器在满量程时，各电阻应变片的阻值变化；

(3) 当桥路的供电电压为 $10\text{V}$ 时，计算桥路的输出电压。

题目解答

答案

  1. 贴片位置及全桥电路：
    轴向应变片（R₁、R₃、R₅、R₇）沿圆筒轴线方向粘贴，周向应变片（R₂、R₄、R₆、R₈）沿圆周方向粘贴。全桥电路中，R₁与R₃为轴向应变片，R₂与R₄为周向应变片，构成标准全桥接法（图示略）。

  2. 阻值变化：
    横截面积：
    $A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2) = 59.69 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$
    轴向应变：
    $\varepsilon_x = \frac{F}{A E} = \frac{10^4}{59.69 \times 10^{-6} \times 2.1 \times 10^{11}} \approx 7.976 \times 10^{-4}$
    周向应变：
    $\varepsilon_y = -\mu \varepsilon_x = -0.3 \times 7.976 \times 10^{-4} \approx -2.393 \times 10^{-4}$
    轴向应变片：
    $\Delta R_{\text{轴}} = K R \varepsilon_x = 2.0 \times 120 \times 7.976 \times 10^{-4} \approx 0.191 \, \Omega$
    周向应变片：
    $\Delta R_{\text{周}} = K R \varepsilon_y = 2.0 \times 120 \times (-2.393 \times 10^{-4}) \approx -0.057 \, \Omega$

  3. 输出电压：
    $U_0 = \frac{U_s K (1 + \mu) \varepsilon_x}{2} = \frac{10 \times 2.0 \times 1.3 \times 7.976 \times 10^{-4}}{2} \approx 10.37 \, \text{mV}$

最终结果：

  1. 贴片位置及全桥电路见分析。
  2. 轴向应变片ΔR ≈ 0.191 Ω，周向应变片ΔR ≈ -0.057 Ω。
  3. 桥路输出电压U₀ ≈ 10.37 mV。

解析

本题主要考察应变电阻式力传感器的相关知识，包括贴片位置及全桥电路的设计、电阻应变片阻值变化的计算以及桥路输出电压的计算。解题思路如下：

  1. 贴片位置及全桥电路设计：根据薄壁圆筒轴向受力的特点，轴向应变片沿圆筒轴线方向粘贴以测量轴向应变，周向应变片沿圆周方向粘贴以测量周向应变。全桥电路采用标准接法，将轴向应变片和周向应变片合理组合，以提高测量灵敏度和精度。
  2. 计算各电阻应变片的阻值变化：
    • 首先计算薄壁圆筒的横截面积 $A$，根据圆的面积公式，横截面积等于外径为 $D$ 的圆的面积减去内径为 $d$ 的圆的面积，即 $A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$。
    • 然后根据胡克定律计算轴向应变 $\varepsilon_x$，公式为 $\varepsilon_x = \frac{F}{A E}$，其中 $F$ 是满量程力，$E$ 是材料弹性模量。
    • 再根据泊松比 $\mu$ 计算周向应变 $\varepsilon_y$，公式为 $\varepsilon_y = -\mu \varepsilon_x$。
    • 最后根据电阻应变片的灵敏度 $K$、初始电阻 $R$ 和应变 $\varepsilon$ 计算阻值变化 $\Delta R$，公式为 $\Delta R = K R \varepsilon$。
  3. 计算桥路的输出电压：对于标准全桥电路，输出电压 $U_0$ 的计算公式为 $U_0 = \frac{U_s K (1 + \mu) \varepsilon_x}{2}$，其中 $U_s$ 是桥路的供电电压。

具体计算过程

  1. 计算横截面积 $A$：
    已知外径 $D = 20\text{mm} = 0.02\text{m}$，内径 $d = 18\text{mm} = 0.018\text{m}$，代入公式可得：
    $\begin{align*}A &= \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)\\&= \frac{\pi}{4} \times (0.02^2 - 0.018^2)\\&= \frac{\pi}{4} \times (0.0004 - 0.000324)\\&= \frac{\pi}{4} \times 0.000076\\&\approx 59.69 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\end{align*}$
  2. 计算轴向应变 $\varepsilon_x$：
    已知满量程力 $F = 10\text{kN} = 10^4\text{N}$，材料弹性模量 $E = 2.1 \times 10^{11} \text{N/m}^2$，代入公式可得：
    $\begin{align*}\varepsilon_x &= \frac{F}{A E}\\&= \frac{10^4}{59.69 \times 10^{-6} \times 2.1 \times 10^{11}}\\&\approx 7.976 \times 10^{-4}\end{align*}$
  3. 计算周向应变 $\varepsilon_y$：
    已知泊松比 $\mu = 0.3$，代入公式可得：
    $\begin{align*}\varepsilon_y &= -\mu \varepsilon_x\\&= -0.3 \times 7.976 \times 10^{-4}\\&\approx -2.393 \times 10^{-4}\end{align*}$
  4. 计算轴向应变片的阻值变化 $\Delta R_{\text{轴}}$：
    已知电阻应变片的灵敏度 $K = 2.0$，初始电阻 $R = 120\Omega$，代入公式可得：
    $\begin{align*}\Delta R_{\text{轴}} &= K R \varepsilon_x\\&= 2.0 \times 120 \times 7.976 \times 10^{-4}\\&\approx 0.191 \, \Omega\end{align*}$
  5. 计算周向应变片的阻值变化 $\Delta R_{\text{周}}$：
    代入公式可得：
    $\begin{align*}\Delta R_{\text{周}} &= K R \varepsilon_y\\&= 2.0 \times 120 \times (-2.393 \times 10^{-4})\\&\approx -0.057 \, \Omega\end{align*}$
  6. 计算桥路的输出电压 $U_0$：
    已知桥路的供电电压 $U_s = 10\text{V}$，代入公式可得：
    $\begin{align*}U_0 &= \frac{U_s K (1 + \mu) \varepsilon_x}{2}\\&= \frac{10 \times 2.0 \times (1 + 0.3) \times 7.976 \times 10^{-4}}{2}\\&= \frac{10 \times 2.0 \times 1.3 \times 7.976 \times 10^{-4}}{2}\\&\approx 10.37 \times 10^{-3} \text{V}\\&= 10.37 \, \text{mV}\end{align*}$