题目

3.17题3.17图示一文丘里流量计,水银压差计读数为360mm,若不计A、B两点间的水-|||-头损失,试求管道中的流量。已知管道直径 _(1)=300mm ,喉段直径 _(2)=150mm ,渐变段AB长-|||-为750mm。-|||-d2=150mm-|||-2 2-|||-B-|||-750mm-|||-1 A 1-|||------|||-z-|||-d1=300mm 360mm-|||-N N-|||-题3.17图

题目解答

答案

解析

本题考查文丘里流量计的流量计算，解题思路是先根据伯努利方程和连续性方程建立流量与压差计读数的关系，再结合已知条件计算出流量。

  1. 列出伯努利方程：
    • 对于不可压缩流体在水平管道中稳定流动，不计水头损失时，伯努利方程为$z_{A}+\frac{p_{A}}{\rho g}+\frac{v_{A}^{2}}{2g}=z_{B}+\frac{p_{B}}{\rho g}+\frac{v_{B}^{2}}{2g}$。
    • 由于管道水平，$z_{A}=z_{B}$，则方程可化简为$\frac{p_{A}}{\rho g}+\frac{v_{A}^{2}}{2g}=\frac{p_{B}}{\rho g}+\frac{v_{B}^{2}}{2g}$，移项可得$\frac{p_{A}-p_{B}}{\rho g}=\frac{v_{B}^{2}-v_{A}^{2}}{2g}$。
  2. 根据连续性方程建立$v_{A}$与$v_{B}$的关系：
    • 连续性方程为$Q = A_{A}v_{A}=A_{B}v_{B}$，其中$A_{A}=\frac{\pi}{4}d_{1}^{2}$，$A_{B}=\frac{\pi}{4}d_{2}^{2}$。
    • 则$v_{A}=\frac{Q}{A_{A}}=\frac{4Q}{\pi d_{1}^{2}}$，$v_{B}=\frac{Q}{A_{B}}=\frac{4Q}{\pi d_{2}^{2}}$。
  3. 计算$p_{A}-p_{B}$：
    • 由水银压差计读数$\Delta h = 360mm=0.36m$，根据压差计原理$p_{A}+\rho g(z_{A}-\Delta h)=p_{B}+\rho_{Hg}g\Delta h+\rho gz_{B}$，因为$z_{A}=z_{B}$，所以$p_{A}-p_{B}=(\rho_{Hg}-\rho)g\Delta h$。
    • 已知水的密度$\rho = 1000kg/m^{3}$，水银的密度$\rho_{Hg}=13600kg/m^{3}$，则$p_{A}-p_{B}=(13600 - 1000)\times9.8\times0.36=43545.6Pa$。
  4. 将$v_{A}$、$v_{B}$和$p_{A}-p_{B}$代入伯努利方程求解$Q$：
    • 把$v_{A}=\frac{4Q}{\pi d_{1}^{2}}$，$v_{B}=\frac{4Q}{\pi d_{2}^{2}}$和$p_{A}-p_{B}=(\rho_{Hg}-\rho)g\Delta h$代入$\frac{p_{A}-p_{B}}{\rho g}=\frac{v_{B}^{2}-v_{A}^{2}}{2g}$中，得到$\frac{(\rho_{Hg}-\rho)g\Delta h}{\rho g}=\frac{1}{2g}[(\frac{4Q}{\pi d_{2}^{2}})^{2}-(\frac{4Q}{\pi d_{1}^{2}})^{2}]$。
    • 化简可得$\frac{(\rho_{Hg}-\rho)\Delta h}{\rho}=\frac{8Q^{2}}{\pi^{2}g}(\frac{1}{d_{2}^{4}}-\frac{1}{d_{1}^{4}})$。
    • 进一步变形为$Q^{2}=\frac{\pi^{2}g(\rho_{Hg}-\rho)\Delta h\rho}{8\rho(\frac{1}{d_{2}^{4}}-\frac{1}{d_{1}^{4}})}=\frac{\pi^{2}g(\rho_{Hg}-\rho)\Delta h}{8(\frac{1}{d_{2}^{4}}-\frac{1}{d_{1}^{4}})}$。
    • 已知$d_{1}=300mm = 0.3m$，$d_{2}=150mm = 0.15m$，$\rho_{Hg}=13600kg/m^{3}$，$\rho = 1000kg/m^{3}$，$\Delta h = 0.36m$，$g = 9.8m/s^{2}$，代入上式可得：
      • $Q^{2}=\frac{\pi^{2}\times9.8\times(13600 - 1000)\times0.36}{8\times(\frac{1}{0.15^{4}}-\frac{1}{0.3^{4}})}$
      • 先计算分母$\frac{1}{0.15^{4}}-\frac{1}{0.3^{4}}=\frac{1}{0.00050625}-\frac{1}{0.0081}\approx1975.31 - 123.46 = 1851.85$。
      • 再计算分子$\pi^{2}\times9.8\times(13600 - 1000)\times0.36\approx9.87\times9.8\times12600\times0.36\approx423244.5$。
      • 则$Q^{2}=\frac{423244.5}{8\times1851.85}\approx28.6$。
      • 所以$Q=\sqrt{28.6}\approx0.173m^{3}/s$。