如在液相中形成边长为 a 的立方体晶核时,求出“临界核胚”立方体边长 a*和 ΔG*。为什么立方体的 ΔG*大于球形 ΔG*?

步骤 1：计算立方体晶核的自由能变化
立方体晶核的自由能变化由两部分组成：体积自由能变化和表面自由能变化。体积自由能变化为 $\Delta G_{y} a^{3}$，表面自由能变化为 $6 a^{2} \gamma$，其中 $\gamma$ 是表面能。因此，立方体晶核的自由能变化为：
$$
\Delta G_{a} = a^{3} \Delta G_{y} + 6 a^{2} \gamma
$$
步骤 2：求解临界核胚的边长
临界核胚的边长 $a^{*}$ 是自由能变化 $\Delta G_{a}$ 对边长 $a$ 的导数为零时的值。因此，我们对 $\Delta G_{a}$ 求导并令其等于零：
$$
\frac{\partial \Delta G_{a}}{\partial a} = 3 a^{2} \Delta G_{y} + 12 a \gamma = 0
$$
解得：
$$
a^{*} = -\frac{4 \gamma}{\Delta G_{y}}
$$
步骤 3：计算临界自由能变化
临界自由能变化 $\Delta G^{*}$ 是在临界核胚边长 $a^{*}$ 时的自由能变化。将 $a^{*}$ 代入 $\Delta G_{a}$ 中，得到：
$$
\Delta G^{*} = \left(-\frac{4 \gamma}{\Delta G_{y}}\right)^{3} \Delta G_{y} + 6 \left(-\frac{4 \gamma}{\Delta G_{y}}\right)^{2} \gamma
$$
化简得：
$$
\Delta G^{*} = \frac{16 \pi \gamma^{3}}{3 (\Delta G_{y})^{2}}
$$
步骤 4：比较立方体和球形的临界自由能变化
当形成体积相同的核时，立方体的表面积大于球形的表面积，因此立方体的表面自由能变化大于球形的表面自由能变化。因此，立方体的临界自由能变化大于球形的临界自由能变化。