题目

某药材共100(kg)，将有效成分浸出95%需要三次，试求浸出溶剂的消耗量。已知药材对溶剂的吸收量为2，设药材中剩余的溶剂量等于本身重量。

某药材共$100\text{kg}$，将有效成分浸出$95\%$需要三次，试求浸出溶剂的消耗量。已知药材对溶剂的吸收量为$2$，设药材中剩余的溶剂量等于本身重量。

题目解答

答案

根据题目，三次浸出后需将有效成分浸出95%，即剩余5%。设每次加入溶剂量为 $ V $，则： \[ \left( \frac{200}{200 + V} \right)^3 = 0.05 \] 解得： \[ V = \frac{126.32}{0.3684} \approx 342.8 \, \text{kg} \] 三次浸出后，总溶剂消耗量为： \[ V_{\text{总}} = 3 \times 342.8 = 1028.4 \, \text{kg} \] 最终结果为： \[ \boxed{1028.4 \, \text{kg}} \]

解析

本题考查的是浸出过程中溶剂消耗量的计算，解题的关键在于根据每次浸出后有效成分的剩余比例建立方程，进而求解每次加入的溶剂量，最后得出总溶剂消耗量。

  1. 分析每次浸出后有效成分的剩余比例：
    • 已知药材共$100\text{kg}$，药材对溶剂的吸收量为$2$，则药材吸收的溶剂量为$100\times2 = 200\text{kg}$，又因为药材中剩余的溶剂量等于本身重量$100\text{kg}$，所以每次浸出时，溶液中溶剂的总量为$200 + V$（$V$为每次加入的溶剂量），而药材中溶剂的量为$200\text{kg}$。
    • 那么每次浸出后，药材中有效成分的剩余比例为$\frac{200}{200 + V}$。
    • 因为进行了三次浸出，所以三次浸出后有效成分的剩余比例为$(\frac{200}{200 + V})^3$。
  2. 根据已知条件建立方程并求解$V$：
    • 已知三次浸出后需将有效成分浸出$95\%$，即剩余$5\% = 0.05$，所以可得到方程$(\frac{200}{200 + V})^3 = 0.05$。
    • 对等式两边同时开三次方，可得$\frac{200}{200 + V}=\sqrt[3]{0.05}$。
    • 计算$\sqrt[3]{0.05}\approx0.3684$，则$\frac{200}{200 + V}=0.3684$。
    • 通过交叉相乘可得$200 = 0.3684\times(200 + V)$。
    • 展开括号得$200 = 0.3684\times200 + 0.3684V$。
    • 计算$0.3684\times200 = 73.68$，则$200 = 73.68 + 0.3684V$。
    • 移项可得$0.3684V = 200 - 73.68 = 126.32$。
    • 解得$V = \frac{126.32}{0.3684} \approx 342.8 \text{kg}$。
  3. 计算总溶剂消耗量：
    • 因为进行了三次浸出，每次加入的溶剂量为$V$，所以三次浸出后总溶剂消耗量为$V_{总}=3\times V$。
    • 把$V\approx342.8\text{kg}$代入可得$V_{总}=3\times342.8 = 1028.4\text{kg}$。