题目

1-6 一长为300mm的钢杆,其受力情况如图所示。已知杆横截面面积 A=-|||-1000mm^2,材料的弹性模量 =200 GPa, 试求:-|||-(1)AC、CD、DB各段横截面上的应力和纵向变形;-|||-(2)AB杆的总纵向变形。-|||-F=20kN-|||-A-|||-F=20kN-|||-C-|||-D-|||-F=20kN-|||-B-|||-题1-6图

题目解答

答案

解析

本题考查轴向拉压杆的应力与变形计算，核心在于确定各段轴力并应用公式求解。关键点：

  1. 轴力分析：通过受力平衡确定各段轴力，注意外力方向对轴力符号的影响。
  2. 应力公式：$\sigma = \frac{N}{A}$，压应力取负值。
  3. 变形公式：$\Delta l = \frac{\sigma \cdot L}{E}$，需注意各段长度与应力的对应关系。
  4. 总变形：各段变形代数和。

第（1）题：各段应力与纵向变形

轴力分析

  • AC段：A点向下外力$F=20\text{ kN}$，C点向上外力$F=20\text{ kN}$，轴力$N_{AC} = -20\text{ kN}$（压应力）。
  • CD段：C、D两点外力大小相等、方向相反，轴力$N_{CD} = 0$。
  • DB段：D点向下外力$F=20\text{ kN}$，轴力$N_{DB} = -20\text{ kN}$（压应力）。

应力计算

  • AC段：$\sigma_{AC} = \frac{-20\text{ kN}}{1000\text{ mm}^2} = -20\text{ MPa}$。
  • CD段：$\sigma_{CD} = \frac{0}{1000\text{ mm}^2} = 0$。
  • DB段：$\sigma_{DB} = \frac{-20\text{ kN}}{1000\text{ mm}^2} = -20\text{ MPa}$。

纵向变形计算

假设各段长度均为$100\text{ mm}$（总长$300\text{ mm}$）：

  • AC段：$\Delta l_{AC} = \frac{-20\text{ MPa} \cdot 100\text{ mm}}{200\text{ GPa}} = -0.01\text{ mm}$。
  • CD段：$\Delta l_{CD} = \frac{0 \cdot 100\text{ mm}}{200\text{ GPa}} = 0$。
  • DB段：$\Delta l_{DB} = \frac{-20\text{ MPa} \cdot 100\text{ mm}}{200\text{ GPa}} = -0.01\text{ mm}$。

第（2）题：总纵向变形

总变形为各段变形代数和：
$\Delta l_{AB} = \Delta l_{AC} + \Delta l_{CD} + \Delta l_{DB} = -0.01\text{ mm} + 0 + (-0.01\text{ mm}) = -0.02\text{ mm}.$