题目

2.31在图示简单杆系中,设AB和AC分别为直径是20mm和24 mm的圆截面杆, E=-|||-200 GPa, =5kN 试求A点的铅垂位移。

题目解答

答案

解析

本题主要考察利用虚功原理求结构位移，核心是通过虚设单位力、计算各杆内力与变形，最终叠加得到A点铅垂位移。

步骤1：结构分析与坐标系建立

杆系中AB、AC为圆截面杆，A点受铅垂力F=5kN，需计算A点铅垂位移。以A为原点，建立坐标系：

  • AB杆：与铅垂线夹角45°（倾斜杆）
  • AC杆：与铅垂线夹角30°（倾斜杆）

步骤2：虚设单位力与内力计算

虚设A点铅垂单位力$F=1$，计算各杆轴力：

  • AB杆轴力$N_{AB}$：
    由节点A平衡，$\sum F_y=0$：
    $N_{AB}\cos45^\circ + N_{AC}\cos30^\circ = 1$
    $\sum F_x=0$：
    $N_{AB}\sin45^\circ = N_{AC}\sin30^\circ \implies N_{AC} = N_{AB}\sqrt{2}$
    联立解得：
    $N_{AB} = \frac{1}{\cos45^\circ + \sqrt{2}\cos30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)} \approx 0.438\,\text{kN}$

  • AC杆轴力$N_{AC}$：
    $N_{AC} = \sqrt{2}N_{AB} \approx 0.619\,\text{kN}$

步骤3：实内力与变形计算

实际荷载F=5kN时，各杆轴力为$N_{AB}^*=F\cdot N_{AB}$、$N_{AC}^*=F\cdot N_{AC}$。
圆杆截面面积：

  • $A_{AB}=\frac{\pi d_{AB}^2}{4}=\frac{\pi(20\times10^{-3})^2}{4}\approx3.1416\times10^{-4}\,\text{m}^2$
  • $A_{AC}=\frac{\pi d_{AC}^2}{4}=\frac{\pi(24\times10^{-3})^2}{4}\approx4.5239\times10^{-4}\,\text{m}^2$

杆长$l=\frac{2}{\cos\theta}$（θ为杆与铅垂线夹角）：

  • $l_{AB}=\frac{2}{\cos45^\circ}\approx2.8284\,\text{m}$
  • $l_{AC}=\frac{2}{\cos30^\circ}\approx2.3094\,\text{m}$

步骤4：虚功原理求位移

A点铅垂位移$\Delta$：
$\Delta = \sum \frac{N^*Nl}{EA}$
代入数据：
$\Delta_{AB} = \frac{(5\times0.438)\times0.438\times2.8284}{200\times10^9\times3.1416\times10^{-4}} \approx 2.19\times10^{-4}\,\text{m}$
$\Delta_{AC} = \frac{(5\times0.619)\times0.619\times2.3094}{200\times10^9\times4.5239\times10^{-4}} \approx 0.0247\,\text{m}$
$\Delta \approx 0.249\,\text{mm}$