第2章系统的数学模型 (习题答案)2.1什么是系统的数学模型?常用的数学模型有哪些?解:数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律,所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。2.2 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?解:凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中xi表示输入位移, xo表示输出位移, 假设输出端无负载效应。题图2.3解:①图(a):由牛顿第二运动定律,在不计重力时,可得整理得将上式进行拉氏变换,并注意到运动由静止开始,即初始条件全部为零,可得[]于是传递函数为②图(b):其上半部弹簧与阻尼器之间,取辅助点A,并设A点位移为x,方向朝下;而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则,从A和B两点可以分别列出如下原始方程:消去中间变量x,可得系统微分方程对上式取拉氏变换,并记其初始条件为零,得系统传递函数为③图(c):以的引出点作为辅助点,根据力的平衡原则,可列出如下原始方程:移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换,并注意到运动由静止开始,即则系统传递函数为2.4试建立下图(题图2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点,其中电压和位移为输入量;电压和位移为输出量;和为弹簧弹性系数;为阻尼系数。题图2.4[解]:方法一:设回路电流为,根据克希霍夫定律,可写出下列方程组:消去中间变量,整理得:方法二:由于无质量,各受力点任何时刻均满足,则有:设阻尼器输入位移为,根据牛顿运动定律,可写出该系统运动方程结论:、互为相似系统,、互为相似系统。四个系统均为一阶系统。2.5试求下图(题图2.5)所示各电路的传递函数。题图2.5[解]:可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

2 .6 求图 ( 题图 2.6) 所示两系统的微分方程。 2 . 7 求图 ( 题图 2.7) 所示机械系统的微分方程。图中 M 为输入转矩 ， C m 为圆周阻尼 ， J 为转动惯量。 圆周半径 为 R ，设 系统输入为 M （即 M ( t ) ），输出为 （即 ）， 2 . 8 求图 ( 题图 2.8) 所示系统的传递函数（ f(t) 为输入， y 2 (t) 为输出）。 2 . 9 若系统传递函数方框图如图 ( 题图 2.9) 所示 , 求： (1) 以 R(s) 为输入 ， 当 N(s) = 0 时 ， 分别以 C(s) ， Y(s) ， B(s) ， E(s) 为输出的闭环传递函数。 (2) 以 N(s) 为输入 ， 当 R(s) = 0 时 ， 分别以 C(s) ， Y(s) ， B(s) ， E(s) 为输出的闭环传递函数。 (3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。 2 . 10 求出图 ( 题图 2 .10) 所示系统的传递函数 。 2 . 11 求出图 ( 题图 2 .11) 所示系统的传递函数 。 2 . 12 图 ( 题图 2 .12) 所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。 代表汽车质量， B 代表振动阻尼器， 为弹簧， 为轮子的质量， 为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。 2.13 液压阻尼器原理如图 ( 题图 2.13) 所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设 为输入位移， 为输出位移， k 弹簧刚度， c 为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。 2.15 某位置随动系统原理方块图如图 ( 题图 2.15) 所示。已知电位器最大工作角度 ，功率放大级放大系数为 ，要求： (1) 分别求出电位器传递系数 、第一级和第二级放大器的比例系数 和 ； (2) 画出系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函数 ；