[填空题] 纯物质P-V图临界等温线在临界点处的斜率（），曲率为（）。

临界等温线是纯物质P-V图中温度等于临界温度的等温线。在临界点处，气体和液体的性质完全相同，此时等温线呈现水平拐点。
关键点：

1. 斜率对应等温线的$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}$，拐点处一阶导数为零；
2. 曲率与二阶导数相关，拐点处二阶导数也为零，导致曲率整体为零。

临界点的数学条件

在临界温度$T_c$下，范德瓦尔斯方程的等温线满足以下条件：

1. 一阶导数为零：$\left. \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V} \right|_{V=V_c} = 0$；
2. 二阶导数为零：$\left. \frac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}V^2} \right|_{V=V_c} = 0$。

曲率的计算

曲率公式为：
$\kappa = \frac{\left| \frac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}V^2} \right|}{\left(1 + \left( \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V} \right)^2 \right)^{3/2}}.$
在临界点处，$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}=0$且$\frac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}V^2}=0$，代入得$\kappa=0$。